Решите неравенство:
\(\displaystyle x^4+8x^2 \le 0{\small .}\)
Представим \(\displaystyle x^4\) как \(\displaystyle (x^2)^2\) в многочлене \(\displaystyle x^4+8x^2{\small : } \)
\(\displaystyle x^4+8x^2= (\color{blue}{ x^2})^2+8\color{blue}{ x^2}{\small .} \)
Сделаем замену \(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small .} \) Получаем многочлен второй степени:
\(\displaystyle t^2+8t{\small .} \)
Решим квадратичное неравенство \(\displaystyle t^2+8t \le 0{\small .} \)
Перепишем неравенство \(\displaystyle -8 \le t\le 0\) в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le 0{ \small ,}\\t&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)
Сделаем обратную замену \(\displaystyle t=x^2{\small .}\) Получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2&\le 0{ \small ,}\\x^2&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)
Поскольку \(\displaystyle x^2\ge -8\) верно для всех чисел \(\displaystyle x{ \small ,}\) то остается решить первое неравенство \(\displaystyle x^2\le 0{\small .}\)
Поскольку квадрат числа – всегда число неотрицательное, то
\(\displaystyle x^2\ge 0 \) для любого числа \(\displaystyle x{\small .}\)
Это можно переписать, что для любого числа \(\displaystyle x\) либо \(\displaystyle x^2>0{ \small ,}\) либо \(\displaystyle x^2=0{ \small .}\)
Рассмотрим каждый случай:
- те \(\displaystyle x {\small ,}\) для которых \(\displaystyle x^2>0{ \small ,}\) не являются решениями неравенства \(\displaystyle x^2\le 0{ \small ;}\)
- те \(\displaystyle x{ \small ,}\) для которых \(\displaystyle x^2=0{ \small ,}\) являются решениями неравенства \(\displaystyle x^2\le 0{ \small .}\)
Решим уравнение \(\displaystyle x^2=0{ \small :}\)
\(\displaystyle x^2=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=0{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in \{0\}{\small .} \)