Теория: 07 Биквадратные неравенства

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle t^2-61t+900=\color{red}{ 1}\cdot t^2\color{green}{ -61}t+\color{blue}{ 900}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -61}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 900}{\small .} \)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle t^2-61t+900=0{ \small .} \)

Дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{-61})^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 900}=3721-3600=121\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 121}=11{\small .} \)

Корни уравнения:

\(\displaystyle t_1= \frac{-(-61)+11}{2}=\frac{72}{2}=36{ \small ,}\)

\(\displaystyle t_2= \frac{-(-61)-11}{2}=\frac{50}{2}=25{\small .}\)

Разложим многочлен второй степени на множители по правилу.

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 36\) и \(\displaystyle 25{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle t^2-61t+900=\color{red}{ 1}\cdot (t-36)(t-4)=(t-36)(t-25) {\small .}\)

Все решения неравенства \(\displaystyle (t-36)(t-25)\ge 0\) получаются, когда

• либо \(\displaystyle t-36\ge 0{ \small ,}\, t-25\ge 0\) – оба множителя неотрицательны;
• либо \(\displaystyle t-36\le 0{ \small ,}\, t-25\le 0\) – оба множителя неположительны.

Если это переписать в виде систем, то:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-36&\ge 0{ \small ,}\\t-25&\ge 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-36&\le 0{ \small ,}\\t-25& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные  неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\ge 36{ \small ,}\\t&\ge 25\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le 36{ \small ,}\\t& \le 25{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Объединяя получившиеся решения, получаем:

\(\displaystyle t\le 25\) или \(\displaystyle t\ge 36{\small .} \)

Преобразуем неравенство \(\displaystyle x^2\le 25{\small : }\)

\(\displaystyle x^2\le 25{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-25\le 0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-2^2\le 0{ \small ,} \)

\(\displaystyle (x-5)(x+5)\le 0{\small .} \)

Запишем получившееся неравенство в виде систем эквивалентных неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-5&\ge 0{ \small ,}\\x+5&\le 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-5&\le 0{ \small ,}\\x+5& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные  неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 5{ \small ,}\\x&\le -5\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 5{ \small ,}\\x& \ge -5{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Объединяя полученные решения, получаем:

\(\displaystyle x\in [-5;5]{\small .} \)

Преобразуем неравенство \(\displaystyle x^2\ge 36{\small : }\)

\(\displaystyle x^2\ge 36{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-36\ge 0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-6^2\ge 0{ \small ,} \)

\(\displaystyle (x-6)(x+6)\ge 0{\small .} \)

Запишем получившееся неравенство в виде систем эквивалентных неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-6&\ge 0{ \small ,}\\x+6&\ge 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-6&\le 0{ \small ,}\\x+6& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные  неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 6{ \small ,}\\x&\ge -6\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 6{ \small ,}\\x& \le -6{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Объединяя полученные решения, получаем:

\(\displaystyle x\in (-\infty;-6]\cup [6;+\infty){\small .} \)