Теория: 07 Биквадратные неравенства

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle t^2-8t-9=\color{red}{ 1}\cdot t^2\color{green}{ -8}t\color{blue}{ -9}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -8}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -9}{\small .} \)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle t^2-8t-9=0{ \small .} \)

Дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{-8})^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -9})=64+36=100\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 100}=10{\small .} \)

Корни уравнения:

\(\displaystyle t_1= \frac{-(-8)+10}{2}=\frac{18}{2}=9{ \small ,}\)

\(\displaystyle t_2= \frac{-(-8)-10}{2}=\frac{-2}{2}=-1{\small .}\)

Разложим многочлен второй степени на множители по правилу.

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 9\) и \(\displaystyle -1{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle t^2-8t-9=\color{red}{ 1}\cdot (t-9)(t-(-1))=(t-9)(t+1) {\small .}\)

Все решения неравенства \(\displaystyle (t-9)(t+1)\le 0\) получаются, когда

• либо \(\displaystyle t-9\ge 0{ \small ,}\, t+1\le 0\) – первый множитель неотрицателен, второй множитель неположителен;
• либо \(\displaystyle t-9\le 0{ \small ,}\, t+1\ge 0\) – первый множитель неположителен, второй множитель неотрицателен.

Если это переписать в виде систем, то:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-9&\ge 0{ \small ,}\\t+1&\le 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-9&\le 0{ \small ,}\\t+1& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные  неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\ge 9{ \small ,}\\t&\le -1\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le 9{ \small ,}\\t& \ge -1{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Объединяя получившиеся решения, получаем:

\(\displaystyle -1\le t\le 9{\small .} \)

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2\ge -1\)

слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.

Однако неотрицательное число всегда больше отрицательного числа.

Значит, для неравенства \(\displaystyle x^2\ge -1\) все числа являются решениями.

То есть

\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)

Преобразуем неравенство \(\displaystyle x^2\le 9{\small : }\)

\(\displaystyle x^2\le 9{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-9\le 0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-3^2\le 0{ \small ,} \)

\(\displaystyle (x-3)(x+3)\le 0{\small .} \)

Запишем получившееся неравенство в виде систем эквивалентных неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\ge 0{ \small ,}\\x+3&\le 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\le 0{ \small ,}\\x+3& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные  неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 3{ \small ,}\\x&\le -3\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 3{ \small ,}\\x& \ge -3{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Объединяя полученные решения, получаем:

\(\displaystyle x\in [-3;3]{\small .} \)