Представим \(\displaystyle x^4\) как \(\displaystyle (x^2)^2\) в биквадратном трехчлене \(\displaystyle x^4+40x^2+144{\small : } \)
\(\displaystyle x^4+40x^2+144= (\color{blue}{ x^2})^2+40\color{blue}{ x^2}+144{\small .} \)
Сделаем замену \(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small .} \) Получаем многочлен второй степени:
\(\displaystyle t^2+40t+144{\small .} \)
Найдем его корни и разложим на множители.
\(\displaystyle t^2+40t+144=(t+4)(t+36) \)
Выделим коэффициенты:
\(\displaystyle t^2+40t+144=\color{red}{ 1}\cdot t^2+\color{green}{ 40}t+\color{blue}{ 144}{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 40}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 144}{\small .} \)
Решим квадратное уравнение:
\(\displaystyle t^2+40t+144=0{ \small .} \)
Дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{40}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 144}=1600-576=1024\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 1024}=32{\small .} \)
Корни уравнения:
\(\displaystyle t_1= \frac{-40+32}{2}=\frac{-8}{2}=-4{ \small ,}\)
\(\displaystyle t_2= \frac{-40-32}{2}=\frac{-72}{2}=-36{\small .}\)
Разложим многочлен второй степени на множители по правилу.
ПравилоРазложение на множители
\(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=\color{red}{ a}(t-t_1)(t-t_2){ \small ,}\)
где \(\displaystyle t_1 \) и \(\displaystyle t_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=0{\small .}\)
В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle -4\) и \(\displaystyle -36{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle t^2+40t+144=\color{red}{ 1}\cdot (t-(-4))(t-(-36))=(t+4)(t+36) {\small .}\)
Получили неравенство \(\displaystyle (t+4)(t+36)\le 0{\small .} \) Решим это неравенство.
Неравенство \(\displaystyle (t+4)(t+36)\le 0 \) имеет решения \(\displaystyle -36\le t\le -4\)
Все решения неравенства \(\displaystyle (t+4)(t+36)\le 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle t+4\ge 0{ \small ,}\, t+36\le 0\) – первый множитель неотрицателен, второй множитель неположителен;
- либо \(\displaystyle t+4\le 0{ \small ,}\, t+36\ge 0\) – первый множитель неположителен, второй множитель неотрицателен.
Если это переписать в виде систем, то:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+4&\ge 0{ \small ,}\\t+36&\le 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+4&\le 0{ \small ,}\\t+36& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Преобразовывая линейные неравенства, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\ge -4{ \small ,}\\t&\le -36\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le -4{ \small ,}\\t& \ge -36{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившиеся системы.
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&\ge -4{ \small ,}\\ t&\le -36 \end{aligned} \right.\) Неравенство \(\displaystyle t\ge -4\) соответствует множеству точек на прямой: 
Неравенство \(\displaystyle t\le -36\) соответствует множеству точек на прямой:
Таким образом, переменная \(\displaystyle t\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle -4\) и меньше либо равна \(\displaystyle -36{\small :}\)
Так как в пересечении общих точек нет, то система неравенств решений не имеет.
Значит, множество решений пусто.
| или | \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&\le -4{ \small ,}\\ t& \ge -36 \end{aligned} \right.\) Неравенство \(\displaystyle t\le -4\) соответствует множеству точек на прямой: 
Неравенство \(\displaystyle t\ge -36\) соответствует множеству точек на прямой:
Таким образом, переменная \(\displaystyle t\) одновременно меньше либо равна \(\displaystyle -4\) и больше либо равна \(\displaystyle -36{\small :}\)
Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.
Значит, решения – \(\displaystyle t\in [-36;-4]{\small .} \) Или, записывая в виде неравенства, \(\displaystyle -36\le t\le -4{\small .} \) |
Объединяя получившиеся решения, получаем:
\(\displaystyle -36\le t\le -4{\small .} \)
Поскольку \(\displaystyle t=x^2{ \small ,} \) то, возвращаясь к переменной \(\displaystyle x{ \small ,} \) получаем неравенство
\(\displaystyle -36\le x^2\le -4{\small .} \)
Переписывая неравенство \(\displaystyle -36\le x^2\le -4\) в виде пересечения неравенств, получаем:
\(\displaystyle x^2\ge -36\) и, одновременно, \(\displaystyle x^2\le -4{\small .} \)
Решим эти неравенства.
Неравенство \(\displaystyle x^2\ge -36\) имеет решения \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty) \)
Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве
\(\displaystyle x^2\ge -36\)
слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.
Однако неотрицательное число всегда больше отрицательного числа.
Значит, для неравенства \(\displaystyle x^2\ge -36\) все числа являются решениями.
То есть
\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)
Неравенство \(\displaystyle x^2\le -4\) не имеет решений
Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве
\(\displaystyle x^2\le -4\)
слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.
Однако неотрицательное число не может быть меньше либо равно отрицательного числа.
Значит, неравенство \(\displaystyle x^2\le -4\) не имеет решений.
Найдем пересечение решений неравенств \(\displaystyle x^2\ge -36\) и \(\displaystyle x^2\le -4{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty)\) и, одновременно, \(\displaystyle x \) не имеет решений (то есть пусто).
Значит, пересечение решений неравенств \(\displaystyle x^2\ge -36\) и \(\displaystyle x^2\le -4\) также пусто.
Ответ: \(\displaystyle x\in \{\varnothing\}{\small .} \)