Теория: 07 Биквадратные неравенства

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle t^2+18t+32=\color{red}{ 1}\cdot t^2+\color{green}{ 18}t\color{blue}{ +32}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 18}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 32}{\small .} \)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle t^2+18t+32=0{ \small .} \)

Дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{18}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 32}=324-128=196\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 196}=14{\small .} \)

Корни уравнения:

\(\displaystyle t_1= \frac{-18+14}{2}=\frac{-4}{2}=-2{ \small ,}\)

\(\displaystyle t_2= \frac{-18-14}{2}=\frac{-32}{2}=-16{\small .}\)

Разложим многочлен второй степени на множители по правилу.

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle -16{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle t^2+18t+32=\color{red}{ 1}\cdot (t-(-2))(t-(-16))=(t+2)(t+16) {\small .}\)

Все решения неравенства \(\displaystyle (t+2)(t+16)>0\) получаются, когда

• либо \(\displaystyle t+2>0{ \small ,}\, t+16>0\) – оба множителя положительны;
• либо \(\displaystyle t+2<0{ \small ,}\, t+16<0\) – оба множителя отрицательны.

Если это переписать в виде систем, то:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+2&>0{ \small ,}\\t+16&>0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+2&<0{ \small ,}\\t+16& <0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные  неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&>-2{ \small ,}\\t&>-16\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&<-2{ \small ,}\\t& <-16{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Объединяя получившиеся решения, получаем:

\(\displaystyle t<-16\) или \(\displaystyle t> -2{\small .} \)

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2<-16\)

слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.

Однако неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа.

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2<-16\) не имеет решений.

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2>-2\)

слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.

Однако неотрицательное число всегда больше отрицательного числа.

Значит, для неравенства \(\displaystyle x^2>-2\) все числа являются решениями.

То есть

\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)