Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) найдите показатель степени выражения:
| \(\displaystyle \frac{a^{\,31}\cdot b^{\,10}\cdot a^{\,17}\cdot b^{\,23}} {b^{\,19}\cdot a^{\,15}\cdot b^{\,11}\cdot a^{\,5}} = a\) | \(\displaystyle \cdot \, b\) |
Для того чтобы преобразовать данное выражение, сначала воспользуемся правилом произведения степеней – как в числителе, так и в знаменателе.
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{a}^{\,31}\cdot \color{green}{b}^{\,10}\cdot \color{blue}{a}^{\,17}\cdot \color{green}{b}^{\,23}} {\color{green}{b}^{\,19}\cdot \color{blue}{a}^{\,15}\cdot \color{green}{b}^{\,11}\cdot \color{blue}{a}^{\,5}}=\frac{\color{blue}{a}^{\,31\,+\,17}\cdot \color{green}{b}^{\,10\,+\,23}}{\color{green}{b}^{\,19\,+\,11} \cdot \color{blue}{a}^{\,15\,+\,5}}=\frac{\color{blue}{a}^{\,48}\cdot \color{green}{b}^{\,33}} {\color{green}{b}^{\,30} \cdot \color{blue}{a}^{\,20}}.\)
Далее применим правило частного степеней к полученной дроби.
Частное степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – ненулевое число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, причем \(\displaystyle n\ge m\), тогда
\(\displaystyle {\bf \frac{a^{\,n}}{a^{\,m}}}= a^{\,n}:a^{\,m}=a^{\,n\,-\,m}.\)
Менее формально, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{a}^{\,48}\cdot \color{green}{b}^{\,33}} {\color{green}{b}^{\,30} \cdot \color{blue}{a}^{\,20}}=\color{blue}{a}^{\,48\,-\,20}\cdot \color{green}{b}^{\,33\,-\,30}=\color{blue}{a}^{\,28}\cdot \color{green}{b}^{\,3}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\,28}\cdot b^{\,3}.\)