Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b,\, x\) найдите показатели степеней выражения:
| \(\displaystyle x^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot b^{\,2}\cdot x\cdot a^{\,16}\cdot x^{\,8}\cdot b^{\,10} \cdot a^{\,7} =a\) | \(\displaystyle \cdot \, b\) | \(\displaystyle \cdot \, x\) |
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:
\(\displaystyle \begin{array}{rl} x^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot b^{\,2}\cdot x\cdot a^{\,16}\cdot x^{\,8}\cdot b^{\,10} \cdot a^{\,7}& = {\color{blue}{x}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,3} \cdot {\color{green}{b}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{x}}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16}\cdot {\color{blue}{x}}^{\,8}\cdot {\color{green}{b}}^{\,10} \cdot {\color{red}{a}}^{\,7}= \\[10px] & = ({\color{red}{a}}^{\,3}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16}\cdot {\color{red}{a}}^{\,7})\cdot ({\color{green}{b}}^{\,2}\cdot {\color{green}{b}}^{\,10})\cdot ({\color{blue}{x}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{x}}\cdot {\color{blue}{x}}^{\,8}). \end{array}\)
Затем воспользуемся правилом сложения степеней:
\(\displaystyle ({\color{red}{a}}^{\,3}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16}\cdot {\color{red}{a}}^{\,7})\cdot ({\color{green}{b}}^{\,2}\cdot {\color{green}{b}}^{\,10})\cdot ({\color{blue}{x}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{x}}\cdot {\color{blue}{x}}^{\,8})={\color{red}{a}}^{\,3\,+\,16\,+\,7}\cdot {\color{green}{b}}^{\,2\,+\,10}\cdot {\color{blue}{x}}^{\,2\,+\,1\,+\,8}= {\color{red}{a}}^{\,26}\cdot {\color{green}{b}}^{\,12}\cdot {\color{blue}{x}}^{\,11}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\,26}\cdot b^{\,12}\cdot x^{\,11}.\)
Более наглядно правило сложения степеней можно показать следующим образом:
\(\displaystyle \small\begin{array}{rl} x^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot b^{\,2}\cdot x\cdot a^{\,16}\cdot x^{\,8}\cdot b^{\,10} \cdot a^{\,7}& =\underbrace{x\cdot x}_{\color{blue}{2}\, раза}\cdot \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{\color{red}{3}\, раза}\cdot \underbrace{b\cdot b}_{\color{green}{2}\, раза}\cdot \underbrace{x}_{\color{blue}{1}\, раз}\cdot \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{\color{red}{16}\, раз}\cdot \underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_{\color{blue}{8}\, раз}\cdot \underbrace{b\cdot\ldots\cdot b}_{\color{green}{10}\, раз}\cdot \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{\color{red}{7}\, раз}= \\[15px] & =\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{\color{red}{3+16+7}\, раз}\cdot \underbrace{b\cdot\ldots\cdot b}_{\color{green}{2+10}\, раз}\cdot \underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_{\color{blue}{2+1+8}\,раз}=a^{\color{red}{\,26}}\cdot b^{\color{green}{\,12}}\cdot x^{\color{blue}{\,11}}. \end{array}\)