Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, c\) и ненулевого числа \(\displaystyle b\) найдите показатели степеней выражения:
| \(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8} = a\) | \(\displaystyle \cdot \, b\) | \(\displaystyle \cdot \, c\) |
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:
\(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8} = {\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,3} \cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8}= ({\color{red}{a}}^{\,3}\cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16})\cdot ({\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8}).\)
Затем воспользуемся правилом сложения степеней:
\(\displaystyle ({\color{red}{a}}^{\,3}\cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16})\cdot ({\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8})= {\color{red}{a}}^{\,3\,+\,2\,+\,16}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,2\,+\,1\,+\,8}= {\color{red}{a}}^{\,21}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,11}.\)
В получившемся произведении присутствуют \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle c\), но нет \(\displaystyle b.\) Это означает, что \(\displaystyle b\) встретилось ноль раз и, следовательно, в произведении оно стоит в нулевой степени:
\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}=a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8}= a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)
Формальное доказательство присутствия ненулевого параметра \(\displaystyle b\) в нулевой степени дается следующим образом.
В произведении
\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}\)
присутствуют \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle c\) и нет \(\displaystyle b.\) Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, и поэтому \(\displaystyle b^{\: 0}=1,\) то
\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}=a^{\: 21}\cdot \color{red}{1}\cdot c^{\,11}= a^{\: 21}\cdot \color{red}{b}^{\: 0}\cdot c^{\,11}.\)