Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle x^4+8x^2 \le 0{\small .}\)
\(\displaystyle x^4\) \(\displaystyle x^4+8x^2{\small } \) көпмүшесіндегі \(\displaystyle (x^2)^2\) түрінде көрсетейік
\(\displaystyle x^4+8x^2= (\color{blue}{ x^2})^2+8\color{blue}{ x^2}{\small .} \)
\(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small } \) ауыстыруды жасайық Екінші дәрежелі көпмүшені аламыз:
\(\displaystyle t^2+8t{\small .} \)
\(\displaystyle t^2+8t \le 0{\small } \) квадраттық теңсіздігін шешейік
\(\displaystyle -8 \le t\le 0\) теңсіздігін теңсіздіктер жүйесі түрінде қайта жазайық:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le 0{ \small ,}\\t&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)
кері ауыстыруды жасайық \(\displaystyle t=x^2{\small }\) Келесіні аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2&\le 0{ \small ,}\\x^2&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle x^2\ge -8\) барлық \(\displaystyle x{ \small ,}\) сандары үшін дұрыс болғандықтан, бірінші теңсіздік \(\displaystyle x^2\le 0{\small }\) шешу қалады
Санның квадраты әрқашан теріс емес сан болғандықтан, онда
кез-келген \(\displaystyle x^2\ge 0 \) саны үшін \(\displaystyle x{\small .}\)
Мұны кез-келген \(\displaystyle x\) саны үшін не \(\displaystyle x^2>0{ \small ,}\) не \(\displaystyle x^2=0{ \small }\) деп қайта жазуға болады
Әр жағдайды қарастырайық:
- \(\displaystyle x^2>0{ \small ,}\) болатын \(\displaystyle x{ \small ,}\) \(\displaystyle x^2\le 0{ \small ;}\) теңсіздігінің шешімдері болып табылмайды;
- \(\displaystyle x^2=0{ \small ,}\) болатын \(\displaystyle x{ \small ,}\) \(\displaystyle x^2\le 0{ \small .}\) теңсіздігінің шешімдері болып табылады.
\(\displaystyle x^2=0{ \small }\) теңдеуін шешейік
\(\displaystyle x^2=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=0{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle x\in \{0\}{\small .} \)