\(\displaystyle x^4\) \(\displaystyle x^4+40x^2+144\: \) биквадрат үшмүшесіндегі \(\displaystyle (x^2)^2\) түрінде көрсетейік
\(\displaystyle x^4+40x^2+144= (\color{blue}{ x^2})^2+40\color{blue}{ x^2}+144{\small .} \)
\(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small } \) ауыстыруды жасайық Екінші дәрежелі көпмүшені аламыз:
\(\displaystyle t^2+40t+144{\small .} \)
Оның түбірлерін тауып, көбейткіштерге жіктейік.
\(\displaystyle t^2+40t+144=(t+4)(t+36) \)
Коэффициенттерді бөліп алайық:
\(\displaystyle t^2+40t+144=\color{red}{ 1}\cdot t^2+\color{green}{ 40}t+\color{blue}{ 144}{\small .}\)
Сонда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 40}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 144}{\small .} \)
Квадрат теңдеуді шешейік:
\(\displaystyle t^2+40t+144=0{ \small .} \)
Дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{40}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 144}=1600-576=1024\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 1024}=32{\small .} \)
Теңдеудің түбірлері:
\(\displaystyle t_1= \frac{-40+32}{2}=\frac{-8}{2}=-4{ \small ,}\)
\(\displaystyle t_2= \frac{-40-32}{2}=\frac{-72}{2}=-36{\small .}\)
Ережеге сәйкес екінші дәрежелі көпмүшені көбейткіштерге жіктейік.
ПравилоКөбейткіштерге жіктеу
\(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=\color{red}{ a}(t-t_1)(t-t_2){ \small ,}\)
мұндағы \(\displaystyle t_1 \) және \(\displaystyle t_2 \) – \(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=0{\small }\) квадрат теңдеуінің түбірлері.
Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбірлер \(\displaystyle -4\) және \(\displaystyle -36{\small } \) тең
Демек,
\(\displaystyle t^2+40t+144=\color{red}{ 1}\cdot (t-(-4))(t-(-36))=(t+4)(t+36) {\small .}\)
\(\displaystyle (t+4)(t+36)\le 0{\small } \) теңсіздігін алдық Бұл теңсіздікті шешейік.
\(\displaystyle (t+4)(t+36)\le 0 \) теңсіздігі \(\displaystyle -36\le t\le -4\) шешімдеріне ие
\(\displaystyle (t+4)(t+36)\le 0\) теңсіздігінің барлық шешімдері келесі жағдайларда алынады
- не \(\displaystyle t+4\ge 0 \,\, t+36\le 0\) – бірінші көбейткіш теріс емес, екінші көбейткіш оң емес;
- не \(\displaystyle t+4\le 0 \,\, t+36\ge 0\) – бірінші көбейткіш оң емес, екінші көбейткіш теріс емес.
Егер оны жүйе түрінде қайта жазсақ, онда:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+4&\ge 0{ \small ,}\\t+36&\le 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+4&\le 0{ \small ,}\\t+36& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Сызықтық теңсіздіктерді түрлендіру арқылы төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\ge -4{ \small ,}\\t&\le -36\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le -4{ \small ,}\\t& \ge -36{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйелерді шешейік.
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&\ge -4{ \small ,}\\ t&\le -36 \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle t\ge -4\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді: 
\(\displaystyle t\le -36\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle t\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle -4\) артық не тең және \(\displaystyle -36\:\) кем не тең 
Қиылысуда ортақ нүктелер болмағандықтан, теңсіздіктер жүйесінде шешімдер жоқ. Демек, шешімдер жиыны бос.
| немесе | \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&\le -4{ \small ,}\\ t& \ge -36 \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle t\le -4\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді: 
\(\displaystyle t\ge -36\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle t\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle -4\) кем не тең және \(\displaystyle -36\:\) артық не тең 
Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады. Демек, шешім – \(\displaystyle t\in [-36;-4]{\small .} \) Немесе теңсіздік түрінде жазу арқылы, \(\displaystyle -36\le t\le -4{\small .} \) |
Алынған шешімдерді біріктіре отырып, төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle -36\le t\le -4{\small .} \)
\(\displaystyle t=x^2 \, \) болғандықтан \(\displaystyle x{ \small } \) айнымалысына орала отырып, келесі теңсіздіктердің бірігуін аламыз
\(\displaystyle -36\le x^2\le -4{\small .} \)
\(\displaystyle -36\le x^2\le -4\) теңсіздігін теңсіздіктер қиылысы түрінде қайта жаза отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle x^2\ge -36\) және, бір уақытта, \(\displaystyle x^2\le -4{\small .} \)
Бұл теңсіздіктерді шешейік.
\(\displaystyle x^2\ge -36\) теңсіздігі \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty) \) шешімдеріне ие
Кез-келген \(\displaystyle x \,\) саны үшін \(\displaystyle x^2 \ge 0\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle x^2\ge -36\)
теңсіздігінде сол жақта теріс емес сан, ал оң жақта теріс сан тұр .
Алайда теріс емес сан әрқашан теріс саннан үлкен болады.
Демек, \(\displaystyle x^2\ge -36\) теңсіздігі үшін барлық сандар шешімдер болып табылады.
Яғни
\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)
\(\displaystyle x^2\le -4\) теңсіздігінің шешімдері жоқ
Кез-келген \(\displaystyle x \,\) саны үшін \(\displaystyle x^2 \ge 0\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle x^2\le -4\)
теңсіздігінде сол жақта теріс емес сан, ал оң жақта теріс сан тұр .
Алайда теріс емес сан теріс саннан кем немесе оған тең бола алмайды.
Демек, \(\displaystyle x^2\le -4\) теңсіздігінің шешімдері жоқ.
\(\displaystyle x^2\ge -36\) және \(\displaystyle x^2\le -4{\small }\)
теңсіздіктері шешімдерінің қиылысын табайық
Сонда \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty)\) және, бір уақытта, \(\displaystyle x \) теңсіздігінің шешімдері жоқ (яғни бос).
Демек, \(\displaystyle x^2\ge -36\) және \(\displaystyle x^2\le -4\) теңсіздіктері шешімдерінің қиылысы да бос.
Жауабы: \(\displaystyle x\in \{\varnothing\}{\small .} \)