\(\displaystyle x^4\) \(\displaystyle x^4-8x^2-9\: \) биквадрат үшмүшесіндегі \(\displaystyle (x^2)^2\) түрінде көрсетейік
\(\displaystyle x^4-8x^2-9= (\color{blue}{ x^2})^2-8\color{blue}{ x^2}-9{\small .} \)
\(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small } \) ауыстыруды жасайық. Екінші дәрежелі көпмүшені аламыз:
\(\displaystyle t^2-8t-9{\small .} \)
Оның түбірлерін тауып, көбейткіштерге жіктейік.
\(\displaystyle t^2-8t-9=(t-9)(t+1) \)
Коэффициенттерді бөліп алайық:
\(\displaystyle t^2-8t-9=\color{red}{ 1}\cdot t^2\color{green}{ -8}t\color{blue}{ -9}{\small .}\)
Сонда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -8}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -9}{\small .} \)
Квадрат теңдеуді шешейік:
\(\displaystyle t^2-8t-9=0{ \small .} \)
Дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{-8})^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -9})=64+36=100\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 100}=10{\small .} \)
Теңдеудің түбірлері:
\(\displaystyle t_1= \frac{-(-8)+10}{2}=\frac{18}{2}=9{ \small ,}\)
\(\displaystyle t_2= \frac{-(-8)-10}{2}=\frac{-2}{2}=-1{\small .}\)
Ережеге сәйкес екінші дәрежелі көпмүшені көбейткіштерге жіктейік.
ПравилоКөбейткіштерге жіктеу
\(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=\color{red}{ a}(t-t_1)(t-t_2){ \small ,}\)
мұндағы \(\displaystyle t_1 \) және \(\displaystyle t_2 \) – \(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=0{\small }\) квадрат теңдеуінің түбірлері.
Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \ a=\ 1 \, \) ал түбірлер \(\displaystyle 9\) және \(\displaystyle -1{\small } \) тең
Демек,
\(\displaystyle t^2-8t-9=\color{red}{ 1}\cdot (t-9)(t-(-1))=(t-9)(t+1) {\small .}\)
\(\displaystyle (t-9)(t+1)\le 0{\small } \) теңсіздігін алдық Бұл теңсіздікті шешейік.
\(\displaystyle (t-9)(t+1)\le 0 \) теңсіздігі \(\displaystyle -1\le t\le 9\) шешімдеріне ие
\(\displaystyle (t-9)(t+1)\le 0\) теңсіздігінің барлық шешімдері келесі жағдайларда алынады
- не \(\displaystyle t-9\ge 0 \,\, t+1\le 0\) – бірінші көбейткіш теріс емес, екінші көбейткіш оң емес;
- не \(\displaystyle t-9\le 0 \,\, t+1\ge 0\) – бірінші көбейткіш оң емес, екінші көбейткіш теріс емес.
Егер оны жүйе түрінде қайта жазсақ, онда:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-9&\ge 0{ \small ,}\\t+1&\le 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-9&\le 0{ \small ,}\\t+1& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Сызықтық теңсіздіктерді түрлендіру арқылы төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\ge 9{ \small ,}\\t&\le -1\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le 9{ \small ,}\\t& \ge -1{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйелерді шешейік.
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&\ge 9{ \small ,}\\ t&\le -1 \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle t\ge 9\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді: 
\(\displaystyle t\le -1\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle t\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 9\) артық не тең және \(\displaystyle -1\:\) кем не тең 
Қиылысуда ортақ нүктелер болмағандықтан, теңсіздіктер жүйесінде шешімдер жоқ. Демек, шешімдер жиыны бос.
| немесе | \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&\le 9{ \small ,}\\ t& \ge -1 \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle t\le 9\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді: 
\(\displaystyle t\ge -1\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle t\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 9\) кем не тең және \(\displaystyle -1\:\) артық не тең 
Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады. Демек, шешім – \(\displaystyle t\in [-1;9]{\small .} \) Немесе теңсіздік түрінде жазу арқылы, \(\displaystyle -1\le t\le 9{\small .} \) |
Алынған шешімдерді біріктіре отырып, төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle -1\le t\le 9{\small .} \)
\(\displaystyle t=x^2 \, \) болғандықтан, \(\displaystyle x{ \small ,} \) айнымалысына орала отырып, келесі теңсіздіктердің бірігуін аламыз
\(\displaystyle -1\le x^2\le 9{\small .} \)
\(\displaystyle -1\le x^2\le 9 \) теңсіздігін теңсіздіктер қиылысы түрінде қайта жаза отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle x^2\ge -1 \) және, бір уақытта, \(\displaystyle x^2\le 9{\small .} \)
Бұл теңсіздіктерді шешейік.
\(\displaystyle x^2\ge -1\) теңсіздігі \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty) \) шешімдеріне ие
Кез-келген \(\displaystyle x \,\) саны үшін \(\displaystyle x^2 \ge 0\) болғандықтан, онда теңсіздігінде
\(\displaystyle x^2\ge -1\)
сол жақта теріс емес сан, ал оң жақта теріс сан тұр.
Алайда теріс емес сан әрқашан теріс саннан үлкен болады.
Демек, \(\displaystyle x^2\ge -1\) теңсіздігі үшін барлық сандар шешімдер болып табылады.
Яғни
\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)
\(\displaystyle x^2\le 9\) теңсіздігі \(\displaystyle x\in [ -3;3]\) шешімдеріне ие
\(\displaystyle x^2\le 9\: \) теңсіздігін түрлендірейік
\(\displaystyle x^2\le 9{ \small ,} \)
\(\displaystyle x^2-9\le 0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x^2-3^2\le 0{ \small ,} \)
\(\displaystyle (x-3)(x+3)\le 0{\small .} \)
Алынған теңсіздікті эквивалентті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\ge 0{ \small ,}\\x+3&\le 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\le 0{ \small ,}\\x+3& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Сызықтық теңсіздіктерді түрлендіру арқылы төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 3{ \small ,}\\x&\le -3\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 3{ \small ,}\\x& \ge -3{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйелерді шешейік.
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 3{ \small ,}\\ x&\le -3 \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle x\ge 3\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді: 
\(\displaystyle x\le -3\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 3\) артық не тең және \(\displaystyle -3\:\) кем не тең 
Қиылысуда ортақ нүктелер болмағандықтан, теңсіздіктер жүйесінде шешімдер жоқ. Демек, шешімдер жиыны бос.
| немесе | \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\le 3{ \small ,}\\ x& \ge -3 \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle x\le 3\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді: 
\(\displaystyle x\ge -3\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 3\) кем не тең және \(\displaystyle -3\:\) артық не тең 
Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады. Демек, шешім – \(\displaystyle x\in [-3;3]{\small .} \) |
Алынған шешімдерді біріктіре отырып, төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle x\in [-3;3]{\small .} \)
\(\displaystyle x^2\ge -1\) және \(\displaystyle x^2\le 9{\small }\) теңсіздіктері шешімдерінің қиылысын табайық
Сонда \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty)\) және, бір уақытта, \(\displaystyle x\in [-3;3]\: \)
Қиылысу арқылы келесі жауап аламыз:
\(\displaystyle x\in [-3;3]{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle x\in [-3;3]{\small .} \)