\(\displaystyle x^4\) \(\displaystyle x^4+18x^2+32\: \) биквадрат үшмүшесіндегі \(\displaystyle (x^2)^2\) түрінде көрсетейік
\(\displaystyle x^4+18x^2+32= (\color{blue}{ x^2})^2+18\color{blue}{ x^2}+32{\small .} \)
\(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small } \) ауыстыруды жасайық Екінші дәрежелі көпмүшені аламыз:
\(\displaystyle t^2+18t+32{\small .} \)
Оның түбірлерін тауып, көбейткіштерге жіктейік.
\(\displaystyle t^2+18t+32=(t+2)(t+16) \)
Коэффициенттерді бөліп алайық:
\(\displaystyle t^2+18t+32=\color{red}{ 1}\cdot t^2+\color{green}{ 18}t\color{blue}{ +32}{\small .}\)
Сонда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 18}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 32}{\small .} \)
Квадрат теңдеуді шешейік:
\(\displaystyle t^2+18t+32=0{ \small .} \)
Дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{18}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 32}=324-128=196\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 196}=14{\small .} \)
Теңдеудің түбірлері:
\(\displaystyle t_1= \frac{-18+14}{2}=\frac{-4}{2}=-2{ \small ,}\)
\(\displaystyle t_2= \frac{-18-14}{2}=\frac{-32}{2}=-16{\small .}\)
Ережеге сәйкес екінші дәрежелі көпмүшені көбейткіштерге жіктейік.
ПравилоКөбейткіштерге жіктеу
\(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=\color{red}{ a}(t-t_1)(t-t_2){ \small ,}\)
мұндағы \(\displaystyle t_1 \) және \(\displaystyle t_2 \) – \(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=0{\small }\) квадрат теңдеуінің түбірлері.
Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \ a=\ 1 \, \) ал түбірлер \(\displaystyle -2\) және \(\displaystyle -16{\small } \) тең
Демек,
\(\displaystyle t^2+18t+32=\color{red}{ 1}\cdot (t-(-2))(t-(-16))=(t+2)(t+16) {\small .}\)
\(\displaystyle (t+2)(t+16)>0{\small } \) теңсіздігін алдық Бұл теңсіздікті шешейік.
\(\displaystyle (t+2)(t+16)>0 \) теңсіздігі \(\displaystyle t<-16 \) немесе \(\displaystyle t>-2\) шешімдеріне ие
\(\displaystyle (t+2)(t+16)>0\) теңсіздігінің барлық шешімдері келесі жағдайларда алынады
- не \(\displaystyle t+2>0 \,\, t+16>0\) – екі көбейткіш те оң;
- не \(\displaystyle t+2<0 \,\, t+16<0\) – екі көбейткіш те теріс.
Егер оны жүйе түрінде қайта жазсақ, онда:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+2&>0{ \small ,}\\t+16&>0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+2&<0{ \small ,}\\t+16& <0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Сызықтық теңсіздіктерді түрлендіру арқылы төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&>-2{ \small ,}\\t&>-16\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&<-2{ \small ,}\\t& <-16{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйелерді шешейік.
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&> -2{ \small ,}\\ t&>-16 \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle t>-2\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді: 
\(\displaystyle t>-16\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle t\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle -2\) артық және \(\displaystyle -16\:\) артық 
Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады. Демек, шешім – \(\displaystyle t\in (-2;+\infty){\small .} \) Немесе теңсіздік түрінде жазу арқылы, \(\displaystyle t> -2{\small .} \)
| или | \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&<-2{ \small ,}\\ t& <-16 \end{aligned} \right.\) \(\displaystyle t<-2\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді: 
\(\displaystyle t<-16\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle t\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle -2\) кем және \(\displaystyle -16\:\) кем 
Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады. Демек, шешім – \(\displaystyle t\in (-\infty;-16){\small .} \) Немесе теңсіздік түрінде жазу арқылы, \(\displaystyle t<-16{\small .} \) |
Алынған шешімдерді біріктіре отырып, төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle t<-16\) немесе \(\displaystyle t> -2{\small .} \)
\(\displaystyle t=x^2 \, \) болғандықтан, \(\displaystyle x{ \small ,} \) айнымалысына орала отырып, келесі теңсіздіктердің бірігуін аламыз
\(\displaystyle x^2<-16\) немесе \(\displaystyle x^2>-2{\small .} \)
Бұл теңсіздіктерді шешейік.
\(\displaystyle x^2<-16\) теңсіздігінің шешімдері жоқ, яғни\(\displaystyle x\in \{\varnothing\} \)
Кез-келген \(\displaystyle x \,\) саны үшін \(\displaystyle x^2 \ge 0\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle x^2<-16\)
теңсіздігінде сол жақта теріс емес сан, ал оң жақта теріс сан тұр .
Алайда теріс емес сан теріс саннан кем болуы мүмкін емес.
Демек, \(\displaystyle x^2<-16\) теңсіздігінің шешімдері жоқ.
\(\displaystyle x^2>-2\) теңсіздігі \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty) \) шешімдеріне ие
Кез-келген \(\displaystyle x \,\) саны үшін \(\displaystyle x^2 \ge 0\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle x^2>-2\)
теңсіздігінде сол жақта теріс емес сан, ал оң жақта теріс сан тұр .
Алайда теріс емес сан әрқашан теріс саннан үлкен болады.
Демек, \(\displaystyle x^2>-2\) теңсіздігі үшін барлық сандар шешімдер болып табылады.
Яғни
\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)
\(\displaystyle x^2<-16\) және \(\displaystyle x^2>-2{\small }\) теңсіздіктер шешімдерін біріктірейік
Сонда \(\displaystyle x\in \{\varnothing\} \) немесе \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \) Біріктіру арқылы келесі жауап аламыз:
\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)