Skip to main content

Теория: Уравнение \(\displaystyle \cos(2x)+\sin^2(x)=0{,}75\)

Задание

Информация

Уравнение \(\displaystyle \cos(2x)+\sin^2(x)=0{,}75\) равносильно двум уравнениям: 

\(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\)  или \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small .}\)

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) имеет решения:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) из промежутка \(\displaystyle \left[\pi;\, \frac{5\pi}{2}\right]{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{13\pi}{6}{\small.}\)

Решение

Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[\pi;\, \frac{5\pi}{2}\right]{\small .}\)

Выделение отрезка на тригонометрической окружности.

Для \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n\) подходит решение \(\displaystyle \frac{13\pi}{6}\).

Одна из точек вида \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n\) попала в необходимый отрезок:

Найдем ее.

 Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle \pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{5\pi}{2}{ \small .}\)

 То есть

\(\displaystyle \pi\leqslant \frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant \frac{5\pi}{2}{ \small .}\)

 Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle 1\leqslant \frac{1}{6}+2n\leqslant \frac{5}{2}{\small .}\)

 Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small :}\)

\(\displaystyle 1- \frac{1}{6}\leqslant 2n\leqslant \frac{5}{2}- \frac{1}{6}{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{5}{6}\leqslant2n \leqslant \frac{7}{3}{ \small .}\)

 Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)

\(\displaystyle \frac{5}{12}\leqslant n \leqslant \frac{7}{6}{ \small .}\)

 Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 1{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=1{\small .}\)

 Подставляя \(\displaystyle n=1\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi \cdot 1=\frac{13\pi}{6}{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\) подходящих решений нет.

Ни одна из точек вида \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n\) не попала в необходимый отрезок:

Докажем это.

 Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle \pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{5\pi}{2}{ \small .}\)

 То есть

\(\displaystyle \pi\leqslant \frac{5\pi}{6}+2\pi n \leqslant \frac{5\pi}{2}{ \small .}\)

 Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle 1\leqslant \frac{5}{6}+2n\leqslant\frac{5}{2}{\small .}\)

 Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{5}{6}{\small :}\)

\(\displaystyle 1- \frac{5}{6}\leqslant 2n\leqslant \frac{5}{2}- \frac{5}{6}{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{1}{6}\leqslant2n \leqslant \frac{5}{3}{ \small .}\)

 Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)

\(\displaystyle \frac{1}{12}\leqslant n \leqslant \frac{5}{6}{ \small .}\)

 Целых чисел в данном промежутке НЕТ.

Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1 }{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[\pi;\, \frac{5\pi}{2}\right]\) имеет решение \(\displaystyle \frac{13\pi}{6}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{13\pi}{6}{\small .}\)