Skip to main content

Теория: Уравнение \(\displaystyle \cos(2x)+\sin^2(x)=0{,}75\)

Задание

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) имеет решения:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \)

и

\(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)

 

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) имеет решения:

\(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)

и

\(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

Решение

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) имеет решения:

  • \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
  • \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)

Так как значения синуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OY{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle y=\frac{1 }{2}\) и тригонометрическую окружность:

Получаем два набора решений.

Информация

Таблица значений тригонометрических функций

 \(\displaystyle \frac{\pi}{6}=30^{\circ}\)\(\displaystyle \frac{\pi}{4}=45^{\circ}\)\(\displaystyle \frac{\pi}{3}=60^{\circ}\)
\(\displaystyle \sin\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \cos\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

Так как \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}{ \small ,}\) то получаем первый набор решений:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 

 

Чтобы найти второй набор решений, воспользуемся симметричностью точек на окружности и, как следствие, равенством углов.

Тогда величина угла дополняющего угол \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) до \(\displaystyle \pi\) равна \(\displaystyle \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}{\small:}\)

Получаем второй набор решений:

\(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)


Таким образом, получаем два набора решений:

  • \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) имеет решения:

  • \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
  • \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)

Так как значения синуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OY{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle y=-\frac{1 }{2}\) и тригонометрическую окружность:

Получаем два набора решений, соответствующих двум точкам.

Согласно таблице значений тригонометрических функций \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1 }{2}{ \small .}\)

Тогда можно найти углы поворотов лучей \(\displaystyle OA\) и \(\displaystyle OB{\small.}\)

  • Угол поворота \(\displaystyle OA\) равен \(\displaystyle \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\) радиан.
  • Угол поворота \(\displaystyle OB\) равен \(\displaystyle -\frac{\pi}{6}\) или \(\displaystyle 2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\) радиан.

Значит, первый набор решений:

\(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 

Второй набор решений:

\(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

 

Таким образом, получаем два набора решений:

  • \(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)