Найдите значение выражения при всех допустимых значениях переменной:
\(\displaystyle (4a^2 - 36) \cdot \bigg(\frac{1}{2a -6} - \frac{1}{2a +6}\bigg)=\)
Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{1}{2a -6}^{\backslash \color{blue}{2a +6}} - \frac{1}{2a +6}^{\backslash \color{green}{2a -6}}=\frac{\color{blue}{2a +6}}{(2a -6)\color{blue}{(2a +6)}}- \frac{\color{green}{2a -6}}{(2a +6)\color{green}{(2a -6)}}=\\[10px]=\frac{(2a +6)-(2a -6)}{(2a -6)(2a +6)}=\frac{\cancel{2a}+6-\cancel{2a}+6}{(2a -6)(2a +6)}=\frac{12}{(2a -6)(2a +6)}{\small.}\end{aligned}\)
Выполним следующее действие: умножим \(\displaystyle (4a^2 - 36)\) на полученный результат.
Тогда имеем:
\(\displaystyle (4a^2 - 36)\cdot \frac{12}{(2a -6)(2a +6)}=\frac{(4a^2 - 36)\cdot12}{(2a -6)(2a +6)}{\small.}\)
Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель на множители по формуле разности квадратов:
\(\displaystyle \frac{(4a^2 - 36)\cdot12}{(2a -6)(2a +6)}=\frac{(2a -6)(2a +6)\cdot12}{(2a -6)(2a +6)}{\small.}\)
Сокращая дробь, получаем ответ:
\(\displaystyle \frac{\cancel {(2a -6)}\,\cancel {(2a +6)}\cdot12}{\cancel {(2a -6)}\,\cancel {(2a +6)}}=12{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \begin{aligned}(4a^2 - 36) \cdot \bigg(\frac{1}{2a -6} - \frac{1}{2a +6}\bigg)=(4a^2 - 36) \cdot \frac{(2a +6)-(2a -6)}{(2a -6)(2a +6)}=\\[12px]=(4a^2 - 36) \cdot\frac{12}{(2a -6)(2a +6)}=\frac{(4a^2 - 36)\cdot12}{(2a -6)(2a +6)}=\\[12px]=\frac{(2a -6)(2a +6)\cdot12}{(2a -6)(2a +6)}=12{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 12{\small.} \)