Найдите значение выражения при всех допустимых значениях переменных:
\(\displaystyle \left((3x - 4y)^2 - (3x + 4y)^2\right):(12xy)=\)
Решение 1.
Запишем данное выражение в виде дроби:
\(\displaystyle \left((3x - 4y)^2 - (3x + 4y)^2\right):(12xy)=\frac{ (3x - 4y)^2 - (3x + 4y)^2}{12xy}{\small.}\)
Раскроем скобки в числителе.
Используя формулы \(\displaystyle (a-b)^2 =a^2-2ab+b^2\) и \(\displaystyle (a+b)^2 =a^2+2ab+b^2{\small,}\) получаем:
- \(\displaystyle \color{blue}{ (3x - 4y)^2= (3x)^2 - 2\cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2= 9x^2-24xy+16y^2}{\small.} \)
- \(\displaystyle \color{green}{ (3x + 4y)^2= (3x)^2 + 2\cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2= 9x^2+24xy+16y^2}{\small.} \)
Учитывая знак минус между скобками, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{ \color{blue}{(3x - 4y)^2} - \color{green}{(3x + 4y)^2}}{12xy}&=\frac{ \color{blue}{9x^2 -24xy +16y^2}-(\color{green}{9x^2 +24xy +16y^2})}{12xy}=\\[10px]&=\frac{ {9x^2 -24xy +16y^2}-{9x^2 -24xy -16y^2}}{12xy}{\small.}\end{aligned}\)
Приведем подобные слагаемые в числителе:
\(\displaystyle \frac{ \cancel{9x^2} \color{blue}{-24xy}+ \cancel{16y^2} - \cancel{9x^2} \color{blue}{-24xy}- \cancel{16y^2}}{12xy}=\frac{ \color{blue}{-48xy}}{12xy}{\small.}\)
Выполнив сокращение дроби, получаем ответ:
\(\displaystyle \frac{ -48xy}{12xy}=-4{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left((3x - 4y)^2 - (3x+ 4y)^2\right):(12xy)=\frac{ (3x - 4y)^2 - (3x + 4y)^2}{12xy}=\\[10px]=\frac{ 9x^2 -24xy+ 16y^2 -(9x^2 +24xy+ 16y^2)}{12xy}=\frac{ -48xy}{12xy}=-4{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle -4 {\small.} \)
Решение 2.
Запишем данное выражение в виде дроби:
\(\displaystyle\left((3x - 4y)^2 - (3x + 4y)^2\right):(12xy)=\frac{ (3x - 4y)^2 - (3x + 4y)^2}{12xy}{\small.}\)
Разложим числитель дроби на множители. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов: \(\displaystyle \color{blue}{a}^2-\color{green}{b}^2=(\color{blue}{a}-\color{green}{b})(\color{blue}{a}+\color{green}{b}){\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{ (\color{blue}{3x - 4y})^2 - (\color{green}{\color{green}{3x + 4y}})^2}{12xy}=\frac{((\color{blue}{3x-4y})-(\color{green}{3x+4y}))((\color{blue}{3x-4y})+(\color{green}{3x+4y}))}{12xy}=\\=\frac{(\cancel{3x}-4y-\cancel{3x}-4y)(3x-\cancel{4y}+3x+\cancel{4y})}{12xy}=\frac{-8y \cdot 6x}{12xy}{\small.}\end{aligned}\)
Выполнив сокращение дроби, получаем ответ:
\(\displaystyle\frac{-8\cancel{y} \cdot 6\cancel{x}}{12\cancel{x}\cancel{y}}=-\frac{8\cdot6}{12}=-4{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left((3x - 4y)^2 - (3x + 4y)^2\right):(12xy)=\frac{ (3x - 4y)^2 - (3x + 4y)^2}{12xy}=\\[10px]=\frac{(({3x-4y})-(3x+4y))(({3x-4y})+({3x+4y}))}{12xy}=\\[10px]=\frac{-8y \cdot 6x}{12xy}=-4{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle -4 {\small.} \)