Выберите из списка, чему равен \(\displaystyle \cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right)\small{.}\)
Выделим из дроби \(\displaystyle -\frac{11\pi}{4}\) целое число \(\displaystyle \pi{\small:}\)
\(\displaystyle -\frac{11\pi}{4}=-\frac{8\pi+3\pi}{4}=-2\pi-\frac{3\pi}{4}{\small.}\)
Изменение угла на \(\displaystyle 2\pi\) сохраняет без изменений значение косинуса.
Значит,
\(\displaystyle \cos\left(-2\pi-\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right){\small.}\)
Представим угол \(\displaystyle -\frac{3\pi}{4}\) как сумму \(\displaystyle -\pi\) и угла из первой четверти:
\(\displaystyle -\frac{3\pi}{4}=-\pi+\frac{\pi}{4}{\small.}\)
Возьмем точку \(\displaystyle A_1\) с координатами \(\displaystyle \left(\cos\left(-\pi+\frac{\pi}{4}\right)\small;\sin\left(-\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right){\small.}\)
Избавимся от \(\displaystyle -\pi\) в \(\displaystyle -\pi+\frac{\pi}{4}{ \small ,}\) построив для \(\displaystyle A_1\)центрально-симметричную точку \(\displaystyle A\) с координатами
\(\displaystyle \left(\cos\frac{\pi}{4}\small;\sin\frac{\pi}{4}\right){\small .}\)
Из центральной симметрии относительно начала координат точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle A_1{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle \cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right)=\cos\left(-2\pi-\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(-\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)