Найдите \(\displaystyle \cos\left(\frac{ 5\pi}{ 4 }\right) \) и \(\displaystyle \sin\left(\frac{ 5\pi}{ 4 }\right){\small .} \)
\(\displaystyle \sin\left(\frac{ 5\pi}{ 4 }\right)=\)
Выделим из дроби \(\displaystyle \frac{ 5\pi}{ 4 }\) как целое число \(\displaystyle \pi{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{ 5\pi}{ 4 }=\frac{4\pi+\pi}{4}=\frac{4\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}{\small.}\)
Тогда нужно найти \(\displaystyle \cos\left(\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right)\) и \(\displaystyle \sin\left(\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right){\small.}\)
Пусть точка \(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle \left(\cos\left(\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right);\sin\left(\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right)\right)\)
Будем строить новую точку \(\displaystyle A_1\) двумя способами.
1. Повернем точку \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle \pi{\small.}\) \(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\small.\) Значит, координаты новой точки \(\displaystyle A_1\) получаются добавлением \(\displaystyle \pi\) к углу для точки \(\displaystyle A\small:\) \(\displaystyle \left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right)\) |  |
2. Снова повернем точку \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle \pi{\small.}\) \(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\small.\) Так как поворот на \(\displaystyle \pi\) – это центральная симметрия, то точка \(\displaystyle A_1\) получит координаты точки \(\displaystyle A\small,\) взятыми со знаком минус: \(\displaystyle \left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right){\small.}\) |  |
Поскольку получали одну и ту же точку, то получили одни и те же координаты. То есть можно приравнять координаты из обоих вариантов:
- \(\displaystyle \cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right){\small;}\)
- \(\displaystyle \sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right){\small.}\)
Так как по таблице \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small,}\) то
- \(\displaystyle \cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small;}\)
- \(\displaystyle \sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Таким образом, получаем:
- \(\displaystyle \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small;}\)
- \(\displaystyle \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\displaystyle \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)