Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_6 \cdot b_7 = -3.\)
Найти произведение \(\displaystyle P_{12}\) первых двенадцати членов данной прогрессии
Решение 1.
Найдем произведение
\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{12}{ \small ,} \)
используя характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n + m=l+k{\small .}\)
Согласно этому свойству,
\(\displaystyle b_1 \cdot b_{12} = b_2 \cdot b_{11} = ... = b_{6} \cdot b_{7} {\small .}\)
Всего таких пар будет шесть, так как в первой паре есть первый элемент, во второй – второй, и т.д., а в последней – шестой.
Выделим эти пары в исходном произведении \(\displaystyle P_{12}{\small .} \)
Получаем:
\(\displaystyle P_{12} = b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_{12} { \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12} = (b_1 \cdot b_{12})\cdot (b_2 \cdot b_{11})\cdot \ldots\cdot (b_{6} \cdot b_{7}) { \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12} = \underbrace{(b_{6} \cdot b_{7})\cdot (b_{6} \cdot b_{7})\cdot \ldots\cdot (b_{6} \cdot b_{7})}_{6 \text{ раз}} { \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12} =(b_{6}\cdot b_{7})^6{ \small .}\)
Так как по условию \(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=-3{ \small ,} \) то
\(\displaystyle P_{12} = (-3)^6{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12} = 729{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 729{\small .}\)
Решение 2.
Выразим произведение
\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{12} \)
через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{\small .} \)
Поскольку
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q{ \small ,}\quad b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad b_{12}=b_1\cdot q^{11}{ \small ,} \)
то получаем:
\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)\cdot \ldots\cdot (b_1\cdot q^{11}){ \small .}\)
Перемножим отдельно \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small .} \) Тогда
\(\displaystyle P_{12}=\underbrace{b_1 \cdot b_1 \cdot ... \cdot b_1}_{12 \text{ раз}}\cdot (q\cdot q^2\cdot \ldots\cdot q^{11}){ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12}=b_1^{12}\cdot q^{1+2+\ldots+11}{ \small .}\)
Посчитаем отдельно сумму
\(\displaystyle 1+2+\ldots+11{\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+11=(1+11)+&(2+ 10)+\ldots + (5+7)+6=\\&=\underbrace{12+12+\ldots+12}_{5\text{ раз}}+6=5\cdot 12+6=66{\small .}\end{aligned} \)
Подставляя в \(\displaystyle P_{12}{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle P_{12}=b_1^{12}\cdot q^{66}=(b_1^2\cdot q^{11})^6{ \small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=(b_1\cdot q^5)\cdot (b_1\cdot q^6)=b_1^2\cdot q^{11} \) и по условию \(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=-3{ \small ,} \) то
\(\displaystyle P_{12}=(-3)^6=729{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 729{\small .}\)