Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_5 = \frac{1}{2}{\small .}\)
Найти произведение \(\displaystyle P_9\) первых девяти членов данной прогрессии.
Решение 1.
Найдем произведение
\(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{9}{ \small ,} \)
используя характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n + m=l+k{\small .}\)
Согласно этому свойству,
\(\displaystyle b_1 \cdot b_{9} = b_{5}^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_2 \cdot b_{8} = b_{5}^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle \ldots \)
\(\displaystyle b_{4} \cdot b_{6} = b_{5}^2{ \small .}\)
Всего таких пар будет четыре, так как в первой паре есть первый элемент, во второй – второй, и т.д., а в последней – четвертый.
Выделим эти пары в исходном произведении \(\displaystyle P_{9}{\small .} \)
Тогда будут использованы все элементы, за исключением пятого.
Получаем:
\(\displaystyle P_{9} = b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_{9} { \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = (b_1 \cdot b_{9})\cdot (b_2 \cdot b_{8})\cdot \ldots\cdot (b_{4} \cdot b_{6}) \cdot b_{5}{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = \underbrace{b_{5}^2 \cdot b_{5}^2 \cdot ... \cdot b_{5}^2}_{4 \text{ раза}}\cdot b_{5}{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = (b_{5}^2)^4\cdot b_{5}{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = b_{5}^9{ \small .}\)
Так как по условию \(\displaystyle b_{5}=\frac{1}{2}{ \small ,} \) то
\(\displaystyle P_{9} = \left(\frac{1}{2}\right)^9{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = \frac{1}{512}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{512}{\small .}\)
Решение 2.
Выразим произведение
\(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{9} \)
через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{\small .} \)
Поскольку
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q{ \small ,}\quad b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad b_{9}=b_1\cdot q^8{ \small ,} \)
то получаем:
\(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)\cdot \ldots\cdot (b_1\cdot q^8){ \small .}\)
Перемножим отдельно \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small .} \) Тогда
\(\displaystyle P_{9}=\underbrace{b_1 \cdot b_1 \cdot ... \cdot b_1}_{9 \text{ раз}}\cdot (q\cdot q^2\cdot \ldots\cdot q^8){ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9}=b_1^9\cdot q^{1+2+\ldots+8}{ \small .}\)
Посчитаем отдельно сумму
\(\displaystyle 1+2+\ldots+8{\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+8=(1+8)+&(2+7)+\ldots+ (4+5)=\\&=\underbrace{9+ 9+ \ldots+ 9}_{4\text{ раза}}=9\cdot 4=36{\small .}\end{aligned} \)
Подставляя в \(\displaystyle P_{9}{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle P_{9}=b_1^9\cdot q^{36}=(b_1\cdot q^4)^9{ \small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_1\cdot q^4=b_{5} \) и по условию \(\displaystyle b_{5}=\frac{1}{2}{ \small ,} \) то
\(\displaystyle P_{9}=b_{5}^9=\left(\frac{1}{2}\right)^9=\frac{1}{512}{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{512} {\small .}\)