Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии \(\displaystyle S_{12}{ \small ,}\) если \(\displaystyle S_5 = 15{ \small ,}\) \(\displaystyle S_7 = 35{\small .}\)
Запишем \(\displaystyle S_5 \) и \(\displaystyle S_7 \) через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{\small .} \)
По формуле для суммы
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n \) первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии равна
\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n \)
Или, записывая через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \)
получаем для \(\displaystyle S_5{\small : } \)
\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+d(5-1)}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+4d}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5=(a_1+2d)\cdot 5{ \small .} \)
Аналогично получаем для \(\displaystyle S_7{\small : } \)
\(\displaystyle S_7= \frac{ 2a_1+d(7-1)}{ 2 }\cdot 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_7= \frac{ 2a_1+6d}{ 2 }\cdot 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_7=(a_1+3d)\cdot 7{ \small .} \)
Тогда, так как по условию \(\displaystyle S_5=15 \) и \(\displaystyle S_7=35{ \small ,} \) получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} (a_1+2d)\cdot 5&=15{ \small ,}\\ (a_1+3d)\cdot 7&=35{\small .}\end{aligned}\right.\)
Упростим систему, разделив обе части первого уравнения на \(\displaystyle 5{\small , } \) а второго – на \(\displaystyle 7{\small : } \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} (a_1+2d)\cdot 5&=15\,|:\color{red}{ 5}\,{ \small ,}\\ (a_1+3d)\cdot 7&=35\,|:\color{red}{ 7}{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1+2d&=3{ \small ,}\\ a_1+3d&=5{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)
\(\displaystyle a_1=3-2d{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle (3-2d)+3d=5{ \small ,}\)
\(\displaystyle 3-2d+3d=5{ \small ,}\)
\(\displaystyle -2d+3d=5-3{ \small ,}\)
\(\displaystyle d =2{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=3-2d{ \small ,}\) то
\(\displaystyle a_1=3-2\cdot 2{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-1{\small .} \)
Теперь, зная, что \(\displaystyle a_1=-1\) и \(\displaystyle d=2{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle S_{12}{\small : } \)
\(\displaystyle S_{12}= \frac{ 2a_1+d(12-1)}{ 2 }\cdot 12{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{12}= \frac{ 2a_1+11d}{ 2 }\cdot 12{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{12}= (2a_1+11d)\cdot 6{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{12}=(2\cdot (-1)+11\cdot 2)\cdot 6{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_{12}=120{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 120{\small .} \)