Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии \(\displaystyle S_5{ \small ,}\) если \(\displaystyle S_3 = 3{ \small ,}\, d = -2{\small .}\)
Используя формулу для суммы
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n \) первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии равна
\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n \)
Или, записывая через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \)
запишем \(\displaystyle S_3\) через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{\small : } \)
\(\displaystyle S_3= \frac{ 2a_1+d(3-1)}{ 2 }\cdot 3{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_3= \frac{ 2a_1+2d}{ 2 }\cdot 3{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_3=(a_1+d)\cdot 3{ \small .} \)
Так как \(\displaystyle S_3=3 \) и \(\displaystyle d=-2{ \small ,} \) то, подставляя, получаем:
\(\displaystyle 3=(a_1-2)\cdot 3{ \small ,} \)
\(\displaystyle 3a_1-6=3{ \small ,} \)
\(\displaystyle 3a_1=9{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_1=3{\small .} \)
Теперь, зная, что \(\displaystyle a_1=3 \) и \(\displaystyle d=-2{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle S_5{\small : } \)
\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+d(5-1)}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+4d}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5= (a_1+2d)\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5=(3+2\cdot (-2))\cdot 5{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_5=-5{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -5{\small .} \)