Skip to main content

Теория: 05 Сумма членов арифметической прогрессии

Задание

Найдите сумму первых четырех членов арифметической прогрессии \(\displaystyle S_4{ \small ,}\) если \(\displaystyle a_2 = 3{ \small ,}\,a_3 = 7{\small .}\)

\(\displaystyle S_4=\)
20
Решение

Сначала найдем \(\displaystyle d{\small .} \) Поскольку \(\displaystyle a_3=a_2+d{ \small ,} \) то

\(\displaystyle d=a_3-a_2{ \small ,} \)

\(\displaystyle d=7-3{ \small ,} \)

\(\displaystyle d=4{ \small .} \)

Теперь найдем \(\displaystyle a_1{\small .} \) Так как \(\displaystyle a_2=a_1+d{ \small ,} \) то

\(\displaystyle a_1=a_2-d{ \small ,} \)

\(\displaystyle a_1=3-4{ \small ,} \)

\(\displaystyle a_1=-1{\small .} \)

Далее найдем \(\displaystyle S_4{ \small ,} \) воспользовавшись формулой для суммы арифметической прогрессии через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small .} \)

Правило

Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии

Сумма \(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n \) первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии равна

\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n \)

Или, записывая через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \)

\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \)

Тогда

\(\displaystyle S_4= \frac{ 2a_1+d(4-1)}{ 2 }\cdot 4{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_4= \frac{ 2a_1+3d}{ 2 }\cdot 4{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_4= (2a_1+3d)\cdot 2{ \small .}\)

Так как \(\displaystyle a_1=-1\) и \(\displaystyle d=4{ \small ,} \) то получаем:

\(\displaystyle S_4=(2\cdot (-1)+3\cdot 4)\cdot 2{ \small ,} \)

\(\displaystyle S_4=20{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 20{\small .} \)