Найдите сумму первых четырех членов арифметической прогрессии \(\displaystyle S_4{ \small ,}\) если \(\displaystyle a_2 = 3{ \small ,}\,a_3 = 7{\small .}\)
Сначала найдем \(\displaystyle d{\small .} \) Поскольку \(\displaystyle a_3=a_2+d{ \small ,} \) то
\(\displaystyle d=a_3-a_2{ \small ,} \)
\(\displaystyle d=7-3{ \small ,} \)
\(\displaystyle d=4{ \small .} \)
Теперь найдем \(\displaystyle a_1{\small .} \) Так как \(\displaystyle a_2=a_1+d{ \small ,} \) то
\(\displaystyle a_1=a_2-d{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_1=3-4{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-1{\small .} \)
Далее найдем \(\displaystyle S_4{ \small ,} \) воспользовавшись формулой для суммы арифметической прогрессии через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small .} \)
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n \) первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии равна
\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n \)
Или, записывая через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \)
Тогда
\(\displaystyle S_4= \frac{ 2a_1+d(4-1)}{ 2 }\cdot 4{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_4= \frac{ 2a_1+3d}{ 2 }\cdot 4{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_4= (2a_1+3d)\cdot 2{ \small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=-1\) и \(\displaystyle d=4{ \small ,} \) то получаем:
\(\displaystyle S_4=(2\cdot (-1)+3\cdot 4)\cdot 2{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_4=20{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 20{\small .} \)