Теория: 13 Сфера и шар

Введем обозначения:

\(\displaystyle R_1\) –  радиус первого шара, \(\displaystyle V_1 \) и \(\displaystyle S_1 \) – объем и площадь поверхности первого шара соответственно;

\(\displaystyle R_2\) – радиус второго шара, \(\displaystyle V_2 \) и \(\displaystyle S_2 \) – объем и площадь поверхности второго шара соответственно.

Требуется узнать, во сколько раз объем первого шара больше объема второго, или найти отношение объемов этих шаров.

По формуле

объемы шаров равны

\(\displaystyle V_1=\frac {4}{3} \pi {R_1}^3\) и \(\displaystyle V_2=\frac {4}{3} \pi {R_2}^3{\small .} \)

Найдем отношение объемов шаров:

\(\displaystyle \frac{ V_1}{ V_2 }= \frac{ \phantom{1} \dfrac {4}{3} \pi {R_1}^3\phantom{1}}{\dfrac {4}{3} \pi {R_2}^3 }= \frac{ {R_1}^3\phantom{1}}{ {R_2}^3 }=\left( \frac {R_1} {R_2} \right)^3 {\small .} \)

Значит, нам необходимо найти отношение радиусов шаров \(\displaystyle \frac {R_1} {R_2}{ \small .} \)

По условию задачи площадь поверхности первого шара в \(\displaystyle 4\) раза больше площади поверхности второго.

По формуле

\(\displaystyle S_1=4\pi \cdot{R_1}^2 \) и \(\displaystyle S_2=4\pi \cdot{R_2}^2{ \small .} \)

Так как \(\displaystyle S_1\) в \(\displaystyle 4\) раза больше, чем \(\displaystyle S_2{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \frac{ S_1}{ S_2 }= \frac{ 4\pi {R_1}^2}{ 4\pi {R_2}^2 }= \frac{ {R_1}^2}{ {R_2}^2 }=\left( \frac {R_1} {R_2} \right)^2 =4{\small .} \)

Так как \(\displaystyle R_1\) и \(\displaystyle R_2\) –  длины радиусов шаров, то \(\displaystyle R_1>0 {\small ,}\,R_2>0\) и их отношение также положительно.

Поэтому

\(\displaystyle \frac {R_1} {R_2} =2 { \small .} \)

Подставляя найденное отношение радиусов в формулу для отношения объемов, получаем

\(\displaystyle \frac{ V_1}{ V_2 }= \left( \frac {R_1} {R_2} \right)^3= 2^3 = 8\)

или

\(\displaystyle V_1=8V_2{\small .} \)

Таким образом, объем первого шара в \(\displaystyle 8 \) раз больше объема второго шара.

Ответ: \(\displaystyle 8 {\small .}\)