Даны два шара. Объем первого шара в \(\displaystyle 27\) раз больше объема второго. Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго?
Обозначим \(\displaystyle R_1\) и \(\displaystyle R_2\) – радиусы, \(\displaystyle V_1\) и \(\displaystyle V_2\) – объемы первого и второго шаров соответственно.
Отношение объемов известно. Требуется найти отношение радиусов.
По формуле объема шара \(\displaystyle V=\frac {4}{3} \pi \cdot R^2 \) получаем:
\(\displaystyle V_1=\frac {4}{3} \pi \cdot {R_1}^3 {\small ,}\)
\(\displaystyle V_2= \frac {4}{3} \pi \cdot {R_2}^3 {\small .} \)
Запишем отношение объемов шаров и выразим из него отношение их радиусов.
По условию объем первого шара в \(\displaystyle 27\) раз больше объема второго. Значит,
\(\displaystyle \frac {V_1}{V_2}=27 {\small .} \)
Получаем:
\(\displaystyle \frac {\dfrac {4}{3} \pi \cdot {R_1}^3}{\dfrac {4}{3} \pi \cdot {R_2}^3}=27 {\small ,} \)
откуда
\(\displaystyle \frac {{R_1}^3}{ {R_2}^3}=\left( \frac {R_1}{R_2} \right)^3=27 {\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \frac {R_1}{R_2}=3 {\small .} \)
Таким образом, радиус первого шара в \(\displaystyle 3\) раза больше, чем радиус второго шара.
Ответ: \(\displaystyle 3 {\small .} \)