Выделите полный квадрат в левой части уравнения
\(\displaystyle x^2-b \cdot x+c=0\)
и найдите равносильное уравнение после его выделения:
| \(\displaystyle \Big(\) | \(\displaystyle \Big)^2=\) | \(\displaystyle -c\) |
Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-b\cdot x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ b\cdot x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{b}{2}{\small .}\)
Сравним формулу и наше выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{b}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle \color{blue}{a} \rightarrow \color{blue}{ x }\) и \(\displaystyle \color{green}{b} \rightarrow\color{green}{ \frac{b}{2}}{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b^2} \rightarrow \color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности,
то есть
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{b}{2}}\,+\color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small .}\end{aligned}\)
Поэтому дополним выражение
\(\displaystyle x^2-b\cdot x+c=0\)
с обеих сторон слагаемым \(\displaystyle \color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small :}\)
\(\displaystyle x^2-b\cdot x+\color{green}{\frac{b^2}{4}}+c=\color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small ,}\)
и распишем квадрат разности слева явно:
\(\displaystyle x^2-2\cdot x\cdot \frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}+c=\frac{b^2}{4}{\small ; }\)
\(\displaystyle \left(x-\frac{b}{2}\right)^2+c=\frac{b^2}{4}{\small . }\)
Перенося \(\displaystyle c \) вправо, получаем:
\(\displaystyle \left(x-\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2}{4}-c{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle \left(x-\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2}{4}-c{\small . } \)