Skip to main content

Теория: Понятие многочлена, его стандартный вид, степень многочлена

Задание

Приведите многочлен к стандартному виду:
 

 \(\displaystyle y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot 13xz-y^{\,3}z^{\, 2}\cdot y^{\,4}z^{\,4}\cdot x^{\,2}y+15xyz\,+\)
\(\displaystyle +\,7y^{\,2}z^{\, 3}\cdot y^{\,2}z^{\,3}\cdot x^{\,2}y^{\,4}-3x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot 2zy^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 7x^{\,2}-xyz=\)
\(\displaystyle =\)
-29x^4y^4z^3+6x^2y^8z^6+14xyz
Решение

Определение

Стандартный вид многочлена от нескольких переменных

Многочлен от нескольких переменных записан в стандартном виде, если это многочлен, в котором:

  • каждый одночлен записан в стандартном виде,
  • нет подобных слагаемых.

Сначала в заданном выражении преобразуем все одночлены , не записанные в стандартном виде, к этому виду:

  • \(\displaystyle y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot 13xz=13\cdot (x^{\,3}\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,3}\cdot y\,)\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)=13\cdot x^{\,3+1}\cdot y^{\,3+1}\cdot z^{\,2+1}=\)
    \(\displaystyle =13x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}{\small ;}\)

  • \(\displaystyle y^{\,3}z^{\, 2}\cdot y^{\,4}z^{\,4}\cdot x^{\,2}y=x^{\,2}\cdot (\,y^{\,3}\cdot y^{\,4}\cdot y\,)\cdot (z^{\, 2}\cdot z^{\,4})=x^{\,2}\cdot y^{\,3+4+1}\cdot z^{\, 2+4}=x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}{\small ;}\)

  • \(\displaystyle 7y^{\,2}z^{\, 3}\cdot y^{\,2}z^{\,3}\cdot x^{\,2}y^{\,4}=7\cdot x^{\,2}\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot y^{\,4})\cdot (z^{\, 3}\cdot z^{\,3})=7\cdot x^{\,2}\cdot y^{\,2+2+4}\cdot z^{\, 3+3}=7x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}{\small ;}\)

  • \(\displaystyle 3x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot 2zy^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 7x^{\,2}=(3\cdot 2\cdot 7)\cdot (x^{\,2}\cdot x^{\,2})\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,2})\cdot (z\cdot z^{\,2})=\)
    \(\displaystyle =42\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,2+2}\cdot z^{\,1+2}=42x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}{\small .}\)

Поэтому

 \(\displaystyle \begin{array}{l} y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot 13xz-y^{\,3}z^{\, 2}\cdot y^{\,4}z^{\,4}\cdot x^{\,2}y+15xyz+7y^{\,2}z^{\, 3}\cdot y^{\,2}z^{\,3}\cdot x^{\,2}y^{\,4}\\ \kern{23em} -3x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot 2zy^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 7x^{\,2}-xyz=\\ \kern{12em} =13x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}-x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}+15xyz+7x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}-42x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}-xyz {\small .}\end{array}\)

 

Приведем в получившемся многочлене подобные члены:

 \(\displaystyle \begin{array}{l} 13\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}-\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}+15\color{red}{xyz}+7\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}-42\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}-\color{red}{xyz}=\\ \kern{7em} =(13\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}-42\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}})+(-\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}+7\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}})+(15\color{red}{xyz}-\color{red}{xyz}\,)=\\ \kern{14em} =(13-42)\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}+(-1+7)\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}+(15-1)\color{red}{xyz}=\\ \kern{24em} =-29\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}+6\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}+14\color{red}{xyz} {\small .}\end{array}\)

 

Таким образом,

 \(\displaystyle \begin{array}{l} y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot 13xz-y^{\,3}z^{\, 2}\cdot y^{\,4}z^{\,4}\cdot x^{\,2}y+15xyz+7y^{\,2}z^{\, 3}\cdot y^{\,2}z^{\,3}\cdot x^{\,2}y^{\,4}-\\ \kern{10em} -3x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot 2zy^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 7x^{\,2}-xyz=-29x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}+14xyz {\small .}\end{array}\)


Ответ: \(\displaystyle -29x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}+14xyz{\small .}\)