Skip to main content

Теориясы: \(\displaystyle \cos(2x)+\sin^2(x)=0{,}75\) теңдеуі

Тапсырма

\(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімдері:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \)

және

\(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)

 

\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімдері:

\(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)

және

\(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

Шешім

\(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімдері:

  • \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
  • \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)

Синус мәндері \(\displaystyle \rm OY{ \small }\) осьте орналасқандықтан, \(\displaystyle y=\frac{1 }{2}\) түзуді және тригонометриялық шеңберді кесіп өтеміз:

Екі шешім жиынтығын аламыз.

Информация

Тригонометриялық функциялардың мәндер кестесі

 \(\displaystyle \frac{\pi}{6}=30^{\circ}\)\(\displaystyle \frac{\pi}{4}=45^{\circ}\)\(\displaystyle \frac{\pi}{3}=60^{\circ}\)
\(\displaystyle \sin\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \cos\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}{ \small }\) болғандықтан, шешімдердің бірінші жиынтығын аламыз:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 

 

Шешімдердің екінші жиынтығын табу үшін шеңбердегі нүктелердің симметриясын және нәтижесінде бұрыштардың теңдігін қолданамыз.

Сонда \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) және \(\displaystyle \pi\) бұрышын толықтыратын бұрыштың мәні \(\displaystyle \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}{\small}\) тең болады.

Шешімдердің екінші жиынтығын аламыз:

\(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)


Осылайша, шешімдердің екі жиынтығын аламыз:

  • \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімі:

  • \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
  • \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)

Синус мәндері \(\displaystyle \rm OY{ \small}\) осьте орналасқандықтан, \(\displaystyle y=-\frac{1 }{2}\) түзуді және тригонометриялық шеңберді кесіп өтеміз:

Екі нүктеге сәйкес шешімдердің екі жиынтығын аламыз.

\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1 }{2}{ \small }\) тригонометриялық функциялардың мәндер кестесіне сәйкес

Содан кейін \(\displaystyle OA\) және \(\displaystyle OB{\small}\) сәулелердің бұрылу бұрыштарын табуға болады

  • \(\displaystyle OA\) бұрылу бұрышы \(\displaystyle \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\) радианға тең.
  • \(\displaystyle OB\) бұрылу бұрышы \(\displaystyle -\frac{\pi}{6}\) немесе \(\displaystyle 2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\) радианға тең.

Сонымен, шешімдердің бірінші жиынтығы:

\(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 

Шешімдердің екінші жиынтығы:

\(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

 

Осылайша, шешімдердің екі жиынтығын аламыз:

  • \(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)