Геометриялық прогрессияда
\(\displaystyle b_5 = \frac{1}{2}\) екені белгілі.
\(\displaystyle P_9\) прогрессиясының алғашқы тоғыз мүшесінің көбейтіндісін табыңыз.
1 шешім .
Геометриялық прогрессияның сипаттамалық қасиетін пайдала отырып
\(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{9} \) көбейтіндісін табайық
Геометриялық прогрессияның жалпыланған сипаттамалық қасиеті
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) кез келген \(\displaystyle n + m=l+k\) үшін.
Осы қасиетке сәйкес,
\(\displaystyle b_1 \cdot b_{9} = b_{5}^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_2 \cdot b_{8} = b_{5}^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle \ldots \)
\(\displaystyle b_{4} \cdot b_{6} = b_{5}^2{ \small .}\)
Бірінші жұпта бірінші элемент бар, екінші жұпта - екінші, және т.с.с., ал соңғы жұпта - төртінші элемент болғандықтан, мұндай жұптар саны төртеу болады.
Бұл жұптарды \(\displaystyle P_{9}\) бастапқы көбейтіндісінде таңдап алайық.
Сонда бесіншіден басқа барлық элементтер пайдаланылады.
Келсін аламыз:
\(\displaystyle P_{9} = b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_{9} { \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = (b_1 \cdot b_{9})\cdot (b_2 \cdot b_{8})\cdot \ldots\cdot (b_{4} \cdot b_{6}) \cdot b_{5}{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = \underbrace{b_{5}^2 \cdot b_{5}^2 \cdot ... \cdot b_{5}^2}_{4 \text{ рет}}\cdot b_{5}{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = (b_{5}^2)^4\cdot b_{5}{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = b_{5}^9{ \small .}\)
Шарт бойынша \(\displaystyle b_{5}=\frac{1}{2}\) болғандықтан, онда келесіні аламыз
\(\displaystyle P_{9} = \left(\frac{1}{2}\right)^9{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9} = \frac{1}{512}{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle \frac{1}{512}{\small .}\)
Шешім 2.
\(\displaystyle b_1 \) және \(\displaystyle q\) арқылы \(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{9} \) көбейтіндісін өрнектейік.
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q{ \small ,}\quad b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad b_{9}=b_1\cdot q^8 \) болғандықтан,
онда келесіні аламыз:
\(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)\cdot \ldots\cdot (b_1\cdot q^8){ \small .}\)
\(\displaystyle b_1 \) және \(\displaystyle q \) жеке көбейтеміз. Онда
\(\displaystyle P_{9}=\underbrace{b_1 \cdot b_1 \cdot ... \cdot b_1}_{9 \text{ рет}}\cdot (q\cdot q^2\cdot \ldots\cdot q^8){ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{9}=b_1^9\cdot q^{1+2+\ldots+8}{ \small .}\)
Көбейтінді жеке есептейміз
\(\displaystyle 1+2+\ldots+8{\small .} \)
Онда
\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+8=(1+8)+&(2+7)+\ldots+ (4+5)=\\&=\underbrace{9+ 9+ \ldots+ 9}_{4\text{ рет}}=9\cdot 4=36{\small .}\end{aligned} \)
\(\displaystyle P_{9} \) орнын ауыстыру арқылы келесі жазуды аламыз:
\(\displaystyle P_{9}=b_1^9\cdot q^{36}=(b_1\cdot q^4)^9{ \small .}\)
\(\displaystyle b_1\cdot q^4=b_{5} \) болғандықтан және шарт бойынша \(\displaystyle b_{5}=\frac{1}{2} \) болғасын, онда
\(\displaystyle P_{9}=b_{5}^9=\left(\frac{1}{2}\right)^9=\frac{1}{512}{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle \frac{1}{512} {\small .}\)