Егер \(\displaystyle S_5 = 15{ \small ,}\) \(\displaystyle S_7 = 35\) болса, \(\displaystyle S_{12}{ \small }\) арифметикалық прогрессияның алғашқы он екі мүшесінің қосындысын табыңыз.
\(\displaystyle S_5 \) бен \(\displaystyle S_7 \)-ні \(\displaystyle a_1 \) және \(\displaystyle d \) арқылы табамыз.
Қосындыға арналған формула бойынша
Арифметикалық прогрессияның алғашқы \(\displaystyle n \) мүшелерінің қосындысының формуласы
Арифметикалық прогрессияның алғашқы \(\displaystyle n \) мүшелерінің \(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n \) қосындысы
\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n \) тең.
Немесе \(\displaystyle a_1 \) және \(\displaystyle d \) арқылы жаза отырып
\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \) тең.
\(\displaystyle S_5\) үшін келесіні аламыз:
\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+d(5-1)}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+4d}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5=(a_1+2d)\cdot 5{ \small .} \)
\(\displaystyle S_7 \) үшін де ұқсас жазамыз
\(\displaystyle S_7= \frac{ 2a_1+d(7-1)}{ 2 }\cdot 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_7= \frac{ 2a_1+6d}{ 2 }\cdot 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_7=(a_1+3d)\cdot 7{ \small .} \)
Ендеше, шарты бойынша \(\displaystyle S_5=15 \) және \(\displaystyle S_7=35\) болғандықтан, келесі жүйені аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} (a_1+2d)\cdot 5&=15{ \small ,}\\ (a_1+3d)\cdot 7&=35{\small .}\end{aligned}\right.\)
Бірінші теңдеудің екі жағын да \(\displaystyle 5{\small } \)-ке бөліп, ал екіншісін \(\displaystyle 7 \)-ге бөліп, жүйені қысқартамыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} (a_1+2d)\cdot 5&=15\,|:\color{red}{ 5}\,{ \small ,}\\ (a_1+3d)\cdot 7&=35\,|:\color{red}{ 7}{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1+2d&=3{ \small ,}\\ a_1+3d&=5{\small .}\end{aligned}\right.\)
Оны орнына қою әдісі арқылы шешеміз.
Бірінші теңдеуден \(\displaystyle a_1\) -ді өрнектейік:
\(\displaystyle a_1=3-2d{\small .} \)
Екінші ттеңдеуге қою арқылы, келесіні аламыз:
\(\displaystyle (3-2d)+3d=5{ \small ,}\)
\(\displaystyle 3-2d+3d=5{ \small ,}\)
\(\displaystyle -2d+3d=5-3{ \small ,}\)
\(\displaystyle d =2{\small .}\)
\(\displaystyle a_1=3-2d\) болса, онда
\(\displaystyle a_1=3-2\cdot 2{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-1{\small .} \)
Енді \(\displaystyle a_1=-1\) және \(\displaystyle d=2 \) екенін біле тұра, \(\displaystyle S_{12}{\small } \) табамыз
\(\displaystyle S_{12}= \frac{ 2a_1+d(12-1)}{ 2 }\cdot 12{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{12}= \frac{ 2a_1+11d}{ 2 }\cdot 12{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{12}= (2a_1+11d)\cdot 6{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{12}=(2\cdot (-1)+11\cdot 2)\cdot 6{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_{12}=120{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle 120{\small .} \)