Бірінші шардың бетінің ауданы екіншісінің бетінің ауданынан \(\displaystyle 4\) есе үлкен. Бірінші шардың көлемі екінші шардың көлемінен неше есе үлкен?
Белгілеуді енгізейік:
\(\displaystyle R_1\) бірінші шардың радиусы, \(\displaystyle V_1\) және \(\displaystyle S_1\) тиісінше бірінші шардың көлемі мен бетінің ауданы;
\(\displaystyle R_2\) екінші шардың радиусы, \(\displaystyle V_2\) және \(\displaystyle S_2\) сәйкесінше екінші шардың көлемі мен бетінің ауданы.
Бірінші шардың көлемі екіншісінің көлемінен неше есе үлкен екенін анықтау немесе осы шарлардың көлемдерінің қатынасын табу талап етіледі.
Формула бойынша
Шардың көлемі
\(\displaystyle V=\frac {4}{3} \pi R^3 { \small ,}\)
мұндағы \(\displaystyle R\) – шардың радиусы.
шарлардың көлемі
\(\displaystyle V_1=\frac {4}{3} \pi {R_1}^3\) және \(\displaystyle V_2=\frac {4}{3} \pi {R_2}^3{\small .} \)
Шарлардың көлемдерінің қатынасын табамыз:
\(\displaystyle \frac{ V_1}{ V_2 }= \frac{ \phantom{1} \dfrac {4}{3} \pi {R_1}^3\phantom{1}}{\dfrac {4}{3} \pi {R_2}^3 }= \frac{ {R_1}^3\phantom{1}}{ {R_2}^3 }=\left( \frac {R_1} {R_2} \right)^3 {\small .} \)
Демек, бізге шарлардың радиустарының \(\displaystyle \frac {R_1} {R_2}{ \small } \) қатынасын табу керек.
Есептің шарты бойынша бірінші шардың бетінің ауданы екіншісінің бетінің ауданынан \(\displaystyle 4\) есе үлкен.
Формула бойынша
Шар бетінің ауданы
\(\displaystyle S=4\pi \cdot R^2 { \small ,} \)
мұндағы \(\displaystyle R\) – шардың радиусы.
\(\displaystyle S_1=4\pi \cdot{R_1}^2 \) и \(\displaystyle S_2=4\pi \cdot{R_2}^2{ \small .} \)
\(\displaystyle S_1,\) \(\displaystyle S_2{\small }\) мәнінен \(\displaystyle 4\) есе үлкен болғандықтан, келесіні аламыз:
\(\displaystyle \frac{ S_1}{ S_2 }= \frac{ 4\pi {R_1}^2}{ 4\pi {R_2}^2 }= \frac{ {R_1}^2}{ {R_2}^2 }=\left( \frac {R_1} {R_2} \right)^2 =4{\small .} \)
\(\displaystyle R_1\) және \(\displaystyle R_2\) шарлардың радиустарының ұзындықтары болғандықтан \(\displaystyle R_1>0 {\small ,}\,R_2>0\) және олардың қатынасы да оң болады.
сондықтан
\(\displaystyle \frac {R_1} {R_2} =2 { \small .} \)
Табылған радиустардың қатынасын көлем қатынасы формуласына алмастыра отырып, келесіні аламыз
\(\displaystyle \frac{ V_1}{ V_2 }= \left( \frac {R_1} {R_2} \right)^3= 2^3 = 8\)
немесе
\(\displaystyle V_1=8V_2{\small .} \)
Осылайша, бірінші шардың көлемі екінші шардың көлемінен \(\displaystyle 8 \) есе үлкен.
Жауабы: \(\displaystyle 8 {\small .}\)