Даны два шара. Площадь поверхности первого шара в \(\displaystyle 9\) раз больше площади поверхности второго. Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго?
Обозначим \(\displaystyle R_1\) и \(\displaystyle R_2\) – радиусы, \(\displaystyle S_1\) и \(\displaystyle S_2\) – площади поверхности первого и второго шаров соответственно.
Отношение площадей поверхности известно. Требуется найти отношение радиусов.
По формуле для площади поверхности шара \(\displaystyle S=4\pi \cdot R^2\) получаем:
\(\displaystyle S_1=4 \pi \cdot {R_1}^2 {\small ,}\)
\(\displaystyle S_2= 4 \pi \cdot {R_2}^2 {\small .} \)
Запишем отношение площадей поверхности шаров и выразим из него отношение их радиусов.
По условию площадь поверхности первого шара в \(\displaystyle 9\) раз больше площади поверхности второго. Значит,
\(\displaystyle \frac {S_1}{S_2}=9 {\small .} \)
Получаем:
\(\displaystyle \frac {4 \pi \cdot {R_1}^2}{4 \pi \cdot {R_2}^2}=9 {\small ,} \)
откуда
\(\displaystyle \frac {{R_1}^2}{ {R_2}^2} = \left( \frac {R_1}{R_2} \right)^2=9 {\small .} \)
Так как \(\displaystyle R_1\) и \(\displaystyle R_2\) – длины радиусов шаров, то \(\displaystyle R_1>0 {\small ,}\,R_2>0\) и их отношение также положительно.
Поэтому
\(\displaystyle \frac {R_1}{R_2}=3 {\small .} \)
Таким образом, радиус первого шара в \(\displaystyle 3\) раза больше, чем радиус второго шара.
Ответ: \(\displaystyle 3 {\small .} \)