Теория: 09 Объём пирамиды

Пусть \(\displaystyle ABC\) – основание, \(\displaystyle S\) – вершина пирамиды.

1. По условию:

• боковые ребра взаимно перпендикулярны, то есть \(\displaystyle SA\perp SB{\small ,}\) \(\displaystyle SB\perp SC{\small ,}\) \(\displaystyle SA\perp SC{\small ;}\)
• боковые ребра равны \(\displaystyle 3{ \small ,} \) то есть \(\displaystyle SA=SB=SC=3{\small .}\)

2. Для вычисления объема пирамиды по формуле \(\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{осн} \cdot h \) требуется знать площадь основания и высоту.

При этом в данном случае: пирамида треугольная, поэтому за основание можно взять любую из боковых граней – их площади вычисляются как площади прямоугольных треугольников; ребро \(\displaystyle SB \) перпендикулярно ребрам \(\displaystyle SA\) и \(\displaystyle SC\), поэтому перпендикулярно боковой грани \(\displaystyle SAC {\small .}\) Значит, если взять \(\displaystyle SAC \) за основание, то \(\displaystyle SB\) будет высотой пирамиды.

Таким образом, высота пирамиды равна

\(\displaystyle h=SB=3{\small .}\) 

Площадь основания \(\displaystyle SAC \) равна

Основанием данной пирамиды является прямоугольный треугольник \(\displaystyle SAC\) с катетами \(\displaystyle SA=SC=3{\small .}\) Его площадь равна половине произведения катетов: \(\displaystyle S_{осн}=S_{\triangle SAC}=\frac{1}{2}SA\cdot SC=\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3= \frac{9}{2} {\small .}\)

Подставим \(\displaystyle h\) и \(\displaystyle S_{осн}\) в формулу для объема пирамиды:  

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{осн} \cdot h=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle SAC} \cdot SB = \frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}\cdot 3= 4{,}5{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 4{,}5{\small .}\)