Найдите корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle x^2-10x+23=0\)
Воспользуемся правилом
Решение приведенного квадратного уравнения
Для решения квадратного уравнения
\(\displaystyle x^2+\color{green}{ b}x+\color{red}{ c}=0\)
находим дискриминант по формуле:
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{red}{ c}{\small .}\)
- если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small ,}\) то действительных решений нет,
- если \(\displaystyle {\rm D}=0{\small ,}\) то имеем одно (два совпадающих) решение \(\displaystyle x=-\frac{b}{2} {\small ,}\)
- если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ,}\) то
\(\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{{\rm D}}}{2}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{{\rm D}}}{2}\)
и запишем уравнение, выделив его коэффициенты:
\(\displaystyle x^2-10x+23=x^2\color{green}{ -10}x+\color{red}{ 23}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}=\color{green}{ -10}, \color{red}{ c}=\color{red}{ 23}{\small .} \)
Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта:
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{red}{ c}{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{ -10})^2-4\cdot \color{red}{ 23}=100-92=8\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 8}=\sqrt{4\cdot 2}= 2\sqrt{2} {\small .} \)
Значит, корни уравнения равны
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-10)+\sqrt{8}}{2}=\frac{10+2\sqrt{2} }{ 2 }=5+\sqrt{2} {\small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-10)-\sqrt{8}}{2}=\frac{ 10-2\sqrt{2} }{ 2 }=5-\sqrt{2} {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=5+\sqrt{2}{\small ,} \, x_2=5-\sqrt{2}{\small .} \)