В классе \(\displaystyle 22\) семиклассника, среди них два близнеца — Тимур и Самат. Класс случайным образом делят на две группы, по \(\displaystyle 11\) человек в каждой. Найдите вероятность того, что Тимур и Самат окажутся в разных группах.
Первый способ.
Найдем число возможных мест для Самат.
В той группе, где находится Тимур, есть\(\displaystyle 10\) мест, которые может занять Самат. В другой группе есть \(\displaystyle 11 \) мест, которые может занять Самат.
Следовательно, общие число исходов равно числу мест, которые может занять Самат, и равно \(\displaystyle 10+11=21{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу свободных мест в группе, где нет Тимура, то есть равно \(\displaystyle 11{\small .}\)
По определению, вероятность того, что Тимур и Самат окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{11}{21}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{10}{21}{\small .}\)
Второй способ.
Число всех возможных исходов – это общее число возможных групп по \(\displaystyle 11\) человек из \(\displaystyle 22{ \small ,}\) то есть
\(\displaystyle C_{22}^{11}=\frac{22!}{11!(22-11)!}=\frac{22!}{11! \cdot 11!}{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу групп из \(\displaystyle 11\) человек, в которые будет входить Тимур, но не будет входить Самат, или будет входить Самат, но не будет входить Тимур. Найдем число таких групп.
Пусть в группе одно место занято Тимуром, тогда остаются свободными только \(\displaystyle 10\) мест. Однако, эти \(\displaystyle 10\) мест могут занять любые семиклассники, кроме Тимура (так как он уже в группе) и кроме Самата (так как он не должен быть в этой группе). Таким образом, число таких групп равно числу выборов по \(\displaystyle 10\) из \(\displaystyle 20\) ( \(\displaystyle 22-2\)):
\(\displaystyle C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
Аналогично, если одно место в группе занято Саматом, получаем, что число таких групп равно
\(\displaystyle C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
Тогда общее число таких групп равно
\(\displaystyle \frac{20!}{10!\cdot 10!}+\frac{20!}{10!\cdot 10!}=2\cdot\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
По определению, вероятность того, что Тимур и Самат окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{2 \cdot 20!}{10!\cdot 10!}:\frac{22!}{11! \cdot 11!}=\frac{2 \cdot 20! \cdot 11! \cdot 11!}{10!\cdot 10! \cdot 22!}=\frac{2 \cdot 11 \cdot 11}{21 \cdot 22}=\frac{11}{21}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{11}{21}{\small .}\)