Для отрицательных чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) известно, что \(\displaystyle a>b{\small .}\) Сравните:
\(\displaystyle a^{\,2}\)\(\displaystyle b^{\,2}\)
Если для положительных чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b},\, \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что
\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x}<\color{green}{y}{\small , }\)
то
\(\displaystyle \color{blue}{a}\cdot \color{blue}{x}<\color{green}{b}\cdot \color{green}{y}{\small . }\)
В общем случае правило произведения неравенств применимо только для неотрицательных чисел.
Так как \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) – отрицательные числа, то \(\displaystyle -a\) и \(\displaystyle -b\) – положительные.
Чтобы сравнить положительные числа \(\displaystyle -a\) и \(\displaystyle -b{\small ,}\) умножим неравенство \(\displaystyle a>b\) на \(\displaystyle -1{\small .}\) Получаем:
\(\displaystyle -a<-b{\small .}\)
Теперь, поскольку \(\displaystyle -a\) и \(\displaystyle -b\) положительны, можно применить правило произведения неравенств к \(\displaystyle \color{blue}{-a}<\color{green}{-b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{-a}<\color{green}{-b}{\small .}\) Получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{-a} \cdot (\color{blue}{-a}\,)<\color{green}{-b} \cdot (\color{green}{-b}\,){\small ,}\)
то есть
\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
Сначала заметим, что поскольку по условию \(\displaystyle a<0 \) и \(\displaystyle b<0{\small , } \) то \(\displaystyle a+b<0{\small , } \) то есть \(\displaystyle a+b\) – отрицательное число.
Далее, так как \(\displaystyle a>b{\small , } \) то \(\displaystyle a-b>0{\small . } \)
Умножим неравенство \(\displaystyle a-b>0 \) на отрицательное число \(\displaystyle a+b\) (в этом случае знак неравенства изменится на противоположный). Получаем:
\(\displaystyle (a-b\,)(a+b\,)<0{\small . } \)
Раскрывая скобки по формуле разности квадратов, получаем, что
\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}<0{\small , } \)
то есть
\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)