Разложите на множители (при разложении можно использовать тот факт, что это произведение двучлена на трехчлен):
Поскольку данное нам выражение
\(\displaystyle 2y^{\,2}-12y+18-3y^{\,6}+18y^{\,5}-27y^{\,4} \)
состоит из шести слагаемых, то можно предположить, что оно является произведением двучлена на трехчлен. Значит, для разложения на множители нужно разбить слагаемые на две части по три слагаемых в каждой части.
Сгруппируем слагаемые по методу группировки (произведение двучлена на трехчлен):
\(\displaystyle (2y^{\,2}-12y+18) + (-3y^{\,6}+18y^{\,5}-27y^{\,4}) {\small . }\)
Попробуем разложить скобки на множители.
Сначала разложим на множители первую часть \(\displaystyle (2y^{\,2}-12y+18) {\small . }\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle 2\) за скобки:
\(\displaystyle 2y^{\,2}-12y+18=\color{red}{ 2}\left(\frac{2y^{\,2}}{\color{red}{ 2}}-\frac{12y}{\color{red}{ 2}}+\frac{18}{\color{red}{ 2}}\right)=2\left( y^{\,2}-6y+9 \right){\small . }\)
Теперь разложим на множители вторую часть \(\displaystyle (-3y^{\,6}+18y^{\,5}-27y^{\,4}) {\small . }\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle 3y^{\,4}\) за скобки:
\(\displaystyle -3y^{\,6}+18y^{\,5}-27y^{\,4}=\color{red}{ 3y^{\,4}}\left(\frac{-3y^{\,6}}{\color{red}{ 3y^{\,4}}}+\frac{18y^{\,5}}{\color{red}{ 3y^{\,4}}}-\frac{27y^{\,4}}{\color{red}{ 3y^{\,4}}}\right)=3y^{\,4}\left( -y^{\,2}+6y-9 \right){\small . }\)
Возвращаясь к первоначальному разложению, получаем:
\(\displaystyle 2y^{\,2}-12y+18-3y^{\,6}+18y^{\,5}-27y^{\,4}=2\left( y^{\,2}-6y+9 \right)+3y^{\,4}\left( -y^{\,2}+6y-9 \right){\small . }\)
Обе части получившегося выражения содержат множители \(\displaystyle \left(y^{\,2}-6y+9\right) \) и \(\displaystyle \left( -y^{\,2}+6y-9 \right){\small , } \) которые различаются только знаком:
\(\displaystyle \left( -y^{\,2}+6y-9 \right)=-\left(y^{\,2}-6y+9\right){\small . } \)
Значит, наше выражение можно переписать в виде:
\(\displaystyle 2\left( y^{\,2}-6y+9 \right)+3y^{\,4}\left( -y^{\,2}+6y-9 \right)=2\left( y^{\,2}-6y+9 \right)-3y^{\,4}\left( y^{\,2}-6y+9 \right){\small . }\)
В обеих частях выражения получился один и тот же множитель \(\displaystyle \left( y^{\,2}-6y+9 \right){\small . } \)
Вынесем его за скобки:
\(\displaystyle 2\color{blue}{ \left( y^{\,2}-6y+9 \right)}-3y^{\,4}\color{blue}{ \left( y^{\,2}-6y+9 \right)}= \color{blue}{ \left( y^{\,2}-6y+9 \right)}\left(2-3y^{\,4}\right){\small . } \)
Теперь заметим, что выражение \(\displaystyle \left( y^{\,2}-6y+9 \right) \) является квадратом разности. Свернем его:
\(\displaystyle \left( y^{\,2}-6y+9 \right)\left(2-3y^{\,4}\right)=\left( y^{\,2}-2\cdot y\cdot 3+3^2 \right)\left(2-3y^{\,4}\right)=(\,y-3)^2\left(2-3y^{\,4}\right){\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle 2y^{\,2}-12y+18-3y^{\,6}+18y^{\,5}-27y^{\,4}= (\,y-3)^2\left(2-3y^{\,4}\right){\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle (\,y-3)^2\left(2-3y^{\,4}\right){\small . } \)