На рисунке изображен график функции \(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c{\small.}\) Найдите \(\displaystyle f(3){\small.}\)
\(\displaystyle f(3)=\)
Чтобы найти \(\displaystyle f(3){ \small ,}\) найдём сначала неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a{\small,}\)\(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small.}\)
Для этого составим систему уравнений относительно \(\displaystyle a{\small,}\)\(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c\) и решим её.
Заметим, что графиком функции \(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c\) является парабола.
Проанализируем рисунок.
Точка \(\displaystyle (2;1)\)
- является вершиной параболы,
- лежит на параболе.
Точка \(\displaystyle (7;6)\) лежит на параболе.
Пользуясь этими тремя фактами, составим систему уравнений для нахождения \(\displaystyle a{ \small ,}\) \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small.}\)
Поскольку точка \(\displaystyle ({2};{1})\) является вершиной параболы \(\displaystyle y=ax^2+bx+c{\small,}\) запишем условие на её абсциссу \(\displaystyle {x_0={2}}{\small.}\)
\(\displaystyle \color{blue}{2=\frac{-b}{2a}}{\small.}\)
Поскольку точка \(\displaystyle (2;1)\) лежит на параболе \(\displaystyle y=ax^2+bx+c{\small,}\) то при подстановке её координат \(\displaystyle x_0={2}\) и \(\displaystyle y_0={1}\) в уравнение \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) получим верное равенство.
Значит,
\(\displaystyle \color{blue}{1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c}{\small.}\)
Поскольку точка \(\displaystyle ({7};{6})\) лежит на параболе \(\displaystyle y=ax^2+bx+c{\small,}\) то при подстановке её координат \(\displaystyle x={7}\) и \(\displaystyle y={6}\) в уравнение \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) получим верное равенство.
Значит,
\(\displaystyle \color{blue}{6=a\cdot 7^2+b\cdot 7+c}{\small.}\)
Таким образом, получаем систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{2}&\color{blue}{=\frac{-b}{2a}}{\small ,}\\[5px]\color{blue}{1}&\color{blue}{=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c}{ \small ,}\\[5px]\color{blue}{6}&\color{blue}{=a\cdot 7^2+b\cdot 7+c} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Или
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b&=-4a{ \small ,}\\1&=4a+2b+c{ \small ,}\\6&=49a+7b+c {\small .}\end{aligned}\right. \)
В первом уравнении \(\displaystyle b\) выражено через \(\displaystyle a{\small .}\)
Подставим выражение \(\displaystyle \color{Magenta}{-4a}\) вместо \(\displaystyle b\) во второе и третье уравнения системы:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}1&=4a+2\cdot (\color{Magenta}{-4a})+c{ \small ,}\\6&=49a+7\cdot (\color{Magenta}{-4a})+c {\small .}\end{aligned}\right. \)
Или
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}1&=-4a+c{ \small ,}\\6&=21a+c {\small .}\end{aligned}\right. \)
Найдём решение исходной системы из трёх уравнений.
Воспользуемся тем, что
\(\displaystyle b=-4a\)
и
\(\displaystyle a=0{,}2\) и \(\displaystyle c=1{,}8{ \small .}\)
Получим:
\(\displaystyle b=-4\cdot 0{,}2=-0{,}8{ \small .}\)
Решением исходной системы является тройка чисел
\(\displaystyle a=0{,}2{ \small ,}\) \(\displaystyle b=-0{,}8\) и \(\displaystyle c=1{,}8{ \small .}\)
Тогда наша функция имеет вид
\(\displaystyle f(x)=0{,}2x^2-0{,}8x+1{,}8{ \small .}\)
Найдём \(\displaystyle f(3){ \small :}\)
\(\displaystyle f(3)=0{,}2\cdot 3^2-0{,}8\cdot 3+1{,}8=1{,}8-2{,}4+1{,}8=1{,}2{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{,}2{\small .}\)