Геометрическое доказательство формулы "квадрат суммы":
Квадрат суммы
Для любыx положительных чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно следующее тождество:
\(\displaystyle (a+b\,)^{\, 2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}.\)
Так как \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) – это положительные числа, то мы можем построить квадрат со стороной, равной \(\displaystyle a+b\) (например, сантиметров):
Площадь данного квадрата равна \(\displaystyle (a+b)^2\) (сантиметров квадратных).
Разобьем каждую сторону квадрата на две части длиной \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) так, как это показано на рисунке:
Квадрат со стороной \(\displaystyle a+b\) состоит из:
1) квадрата со стороной \(\displaystyle a,\)
2) квадрата со стороной \(\displaystyle b,\)
3) двух прямоугольников со сторонами \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Поэтому площадь квадрата со стороной \(\displaystyle a+b\) равна сумме площадей квадрата со стороной \(\displaystyle a\), квадрата со стороной \(\displaystyle b\) и двух прямоугольников со сторонами \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\):
Площадь большого квадрата равна сумме площадей фигур, из которых он составлен.
Найдем площадь каждой из фигур.
Площадь квадрата со стороной \(\displaystyle a\) равна \(\displaystyle a^{\,2}\):
 | \(\displaystyle =a^{\,2}\) |
Площадь прямоугольника со сторонами \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) равна \(\displaystyle a\cdot b\):
 | \(\displaystyle =a\cdot b\) |
 | \(\displaystyle =a\cdot b\) |
Площадь квадрата со стороной \(\displaystyle b\) равна \(\displaystyle b^{\,2}\):
 | \(\displaystyle =b^{\,2}\) |
Найдем площадь квадрата со стороной \(\displaystyle a+b\) двумя способами – по определению и как сумму площадей фигур, из которых он состоит.
| \(\displaystyle (a+b\,)^2=\) |
|
| \(\displaystyle =a^{\,2 }+\underbrace{a\cdot b+a\cdot b}_{2ab}+b^{\,2}=a^{\,2}+2ab+b^{\,2}.\) |
Таким образом, мы получили формулу:
\(\displaystyle (\pmb{a}+\pmb{b}\,)^2=\pmb{a}^{\,2}+2ab+\pmb{b}^{\,2}.\)