Решите уравнение (запишите множество корней, если решений нет, то ответом явлется пустое множество):
\(\displaystyle \sqrt{5\sqrt{10+x}}=5{\small .}\)
Уравнение вида \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)
- Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
- если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.
\(\displaystyle \sqrt{5\sqrt{10+x}}=5{\small .}\)
В нашем случае \(\displaystyle f(x)=5\sqrt{10+x}\) и \(\displaystyle a=5{\small .}\) Так как \(\displaystyle 5 \ge 0{ \small ,}\) то
уравнение \(\displaystyle \sqrt{5\sqrt{10+x}}=5\) равносильно уравнению \(\displaystyle 5\sqrt{10+x}=5^2{\small .}\)
Отсюда получаем:
\(\displaystyle 5\sqrt{10+x}=25{ \small ,}\)
разделим обе части на \(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle \sqrt{10+x}=5{ \small .}\)
Снова применим данное правило.
Уравнение вида \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)
- Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
- если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.
В нашем случае \(\displaystyle f(x)=10+x\) и \(\displaystyle a=5{\small .}\) Так как \(\displaystyle 5 \ge 0{ \small ,}\) то
уравнение \(\displaystyle \sqrt{10+x}=5\) равносильно уравнению \(\displaystyle 10+x=5^2{\small .}\)
Отсюда получаем:
\(\displaystyle 10+x=25{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=15{ \small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 15{\small .}\)