Решите уравнение (запишите множество корней, если решений нет, то ответом явлется пустое множество):
\(\displaystyle \sqrt{\frac{9x+18}{x+2}}=3{\small .}\)
Уравнение вида \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)
- Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
- если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.
\(\displaystyle \sqrt{\frac{9x+18}{x+2}}=3{\small .}\)
В нашем случае \(\displaystyle f(x)=\frac{9x+18}{x+2}\) и \(\displaystyle a=3{\small .}\) Так как \(\displaystyle 3 \ge 0{ \small ,}\) то
уравнение \(\displaystyle \sqrt{\frac{9x+18}{x+2}}=3\) равносильно уравнению \(\displaystyle \frac{9x+18}{x+2}=3^2{\small .}\)
Отсюда получаем:
\(\displaystyle \frac{9x+18}{x+2}=9{ \small .}\)
Решим рациональное уравнение:
\(\displaystyle \frac{9x+18}{x+2}-9=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{9x+18}{x+2}-9\cdot\frac{x+2}{x+2}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{9x+18-9(x+2)}{x+2}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{0}{x+2}=0{ \small .}\)
Так как если поделить ноль на любое ненулевое число будет ноль, то данное уравнение равносильно неравенству
\(\displaystyle x+2\,\cancel{=}\, 0\) или \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,-2{\small .}\)
Если данный ответ записать в виде интервалов, то
\(\displaystyle x \in (-\infty;\, -2) \cup (-2;\, +\infty){\small . }\)
Ответ:\(\displaystyle x \in (-\infty;\, -2) \cup (-2;\, +\infty){\small . }\)