Используя метод интервалов, решите неравенство:
\(\displaystyle x^2-2x\geqslant-4{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle x^2-2x\geqslant-4{\small ,}\)
\(\displaystyle x^2-2x+4\geqslant0{\small .}\)
Для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-2x+4=0\) дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}= (-2)^2-4\cdot 1\cdot 4=-12<0{\small .}\)
Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет решений в действительных числах.
Значит, нужно рассматривать всю числовую ось как один промежуток:
Получаем один интервал:
\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)
При этом на всей числовой прямой функция \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+4\) будет иметь один знак.
Выберем любую точку на прямой и определим знак функции в данной точке. Наиболее удобно выбрать \(\displaystyle x=0{\small :}\)
\(\displaystyle f(0)=0^2-2\cdot0+4=4>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small :}\)
Так как решения неравенства \(\displaystyle x^2-2x+4\geqslant0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+4\) положительна, и граничным точкам интервалов (в нашем случае граничных точек нет), то решением будут все числа, то есть
\(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;+\infty){\small .}\)