Используя метод интервалов, решите неравенство:
\(\displaystyle x^2<12x-36{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle x^2<12x-36{\small ,}\)
\(\displaystyle x^2-12x+36<0{\small .}\)
Далее найдем все корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-12x+36=0{\small .}\)
Отметим найденный корень на числовой прямой, выкалывая его (так как знак неравенства строгий):
Получаем два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;6)\) и \(\displaystyle (6;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x^2-12x+36\) в каждом из данных интервалов.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;6)\) выберем \(\displaystyle x=5 \in (-\infty;6){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=5{ \small :}\)
\(\displaystyle f(5)=5^2-12\cdot5+36=25-60+36>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;6){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (6;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=7 \in (6;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=7 { \small :}\)
\(\displaystyle f(7)=7^2-12\cdot7+36=49-84+36>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (6;+\infty){\small :}\)
Так как решения неравенства \(\displaystyle x^2-12x+36<0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-12x+36\) отрицательна, а таких промежутков нет, то решений нет.
Ответ: \(\displaystyle x \in \varnothing{\small .}\)