Используя метод интервалов, решите неравенство:
\(\displaystyle x^2+2x>15{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle x^2+2x>15{\small ,}\)
\(\displaystyle x^2+2x-15>0{\small .}\)
Далее найдем все корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+2x-15=0{\small .}\)
Отметим найденные корни на числовой прямой, выкалывая их (так как знак неравенства строгий):
Получаем три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;-5){ \small ,} \, (-5;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x^2+2x-15\) в каждом из данных интервалов.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;-5)\) выберем \(\displaystyle x=-6 \in (-\infty;-5){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=-6{ \small :}\)
\(\displaystyle f(-6)=(-6)^2+2\cdot(-6)-15=36-12-15>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;-5){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (-5;3)\) выберем \(\displaystyle x=-4 \in (-5;3){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=-4 { \small :}\)
\(\displaystyle f(-4)=(-4)^2+2 \cdot(-4)-15=16-8-15<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-5;3){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=4 { \small :}\)
\(\displaystyle f(4)=4^2+2\cdot4-15=16+8-15>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
Так как решения неравенства \(\displaystyle x^2+2x-15>0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2+2x-15\) положительна, то
\(\displaystyle (-\infty;-5) \cup(3;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;-5) \cup(3;+\infty){\small .}\)