Digital Matematika - 8 класс - Эквивалентность биквадратного неравенства системе неравенств

Задание

Решите неравенство

\(\displaystyle x^4-8x^2-9 > 0{ \small ,}\)

если известно, что оно эквивалентно объединению решений неравенств

\(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Эквивалентность неравенства объединению неравенств означает, что решения неравенства \(\displaystyle x^4-8x^2-9 > 0\) совпадают с объединением решений неравенств

\(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small .}\)

Поэтому достаточно сначала найти решения неравенств \(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small ,}\) а затем объединить их.

Неравенство \(\displaystyle x^2<-1\) не имеет решений

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2<-1\)

слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.

Однако неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа.

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2<-1\) не имеет решений.

Неравенство \(\displaystyle x^2>9\) имеет решения \(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty) \)

Преобразуем неравенство \(\displaystyle x^2>9{\small : }\)

\(\displaystyle x^2>9{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-9>0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-3^2>0{ \small ,} \)

\(\displaystyle (x-3)(x+3)>0{\small .} \)

Запишем получившееся неравенство в виде систем эквивалентных неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&>0{ \small ,}\\x+3&>0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&< 0{ \small ,}\\x+3& <0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>3{ \small ,}\\x&> -3\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 3{ \small ,}\\x& <-3{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>3{ \small ,}\\ x&>-3 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x>3\) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство \(\displaystyle x>-3\) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle 3\) и больше \(\displaystyle -3{\small :}\)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (3;+\infty){\small .} \)

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&< 3{ \small ,}\\ x& <-3 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< 3\) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство \(\displaystyle x<-3\) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 3\) и меньше \(\displaystyle -3{\small :}\)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;-3){\small .} \)

Объединяя полученные решения, получаем:

\(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)

Объединяя решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)

Замечание / комментарий

Для решения элементарных квадратичных неравенства можно воспользоваться формулами.

Для \(\displaystyle a \geqslant 0\) верны следующие утверждения:

\(\displaystyle x^2 \leqslant a\) равносильно \(\displaystyle -\sqrt{a}\leqslant x\leqslant \sqrt{a}{\small ; }\)
\(\displaystyle x^2 < a\) равносильно \(\displaystyle -\sqrt{a}<x < \sqrt{a}{\small ; }\)
\(\displaystyle x^2 \geqslant a\) имеет решение \(\displaystyle x\leqslant -\sqrt{a}\) или \(\displaystyle x\geqslant \sqrt{a}{\small ; }\)
\(\displaystyle x^2> a\) имеет решение \(\displaystyle x< -\sqrt{a}\) или \(\displaystyle x> \sqrt{a}{\small . }\)

Для \(\displaystyle a< 0\) верны следующие утверждения:

\(\displaystyle x^2< a\) – решений нет;
\(\displaystyle x^2\leqslant a\) – решений нет;
\(\displaystyle x^2> a\) – все числа являются решениями;
\(\displaystyle x^2\geqslant a\) – все числа являются решениями.

Используя эти формулы, получаем, что

неравенство \(\displaystyle x^2<-1\) не имеет решений;
неравенство \(\displaystyle x^2>9\) имеет решения \(\displaystyle x<-3\) или \(\displaystyle x>3{\small .}\)

Теория: 06 Эквивалентность биквадратного неравенства системе неравенств