Пусть \(\displaystyle t=x^2.\) Запишите системы квадратичных неравенств, эквивалентных биквадратному неравенству:
\(\displaystyle (x^2+3)(x^2-7)\le 0{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle t\), |
\(\displaystyle t\) |
или
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle t\), |
\(\displaystyle t\). |
Сделаем замену \(\displaystyle \color{red}{ t}=\color{blue}{ x^2} \) в неравенстве \(\displaystyle (\color{blue}{ x^2}+3)(\color{blue}{ x^2}-7)\ge 0{\small .} \) Получаем:
\(\displaystyle (\color{red}{ t}+3)(\color{red}{ t}-7)\ge 0 \)
Запишем неравенство \(\displaystyle (t+3)(t-7)\le 0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.
Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \le 0\) в том случае, когда
- либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\le 0\) – первое число неотрицательно, второе неположительно;
- либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – первое число неположительно, второе неотрицательно.
Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (t+3)(t-7)\le 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle t+3\ge 0{ \small ,}\, t-7\le 0\) – первый множитель неотрицательный, второй неположительный,
- либо \(\displaystyle t+3\le 0{ \small ,}\, t-7\ge 0\) – первый множитель неположительный, второй неотрицательный.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+3&\ge 0{ \small ,}\\t-7 &\le 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+3&\le 0{ \small ,}\\t-7& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\ge -3{ \small ,}\\t&\le 7\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le -3{ \small ,}\\t& \ge 7{\small .}\end{aligned}\right.\)