Пусть \(\displaystyle t=x^2.\) Запишите системы квадратичных неравенств, эквивалентных биквадратному неравенству:
\(\displaystyle x^4-15x^2+26>0{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle t\), |
\(\displaystyle t\) |
или
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle t\), |
\(\displaystyle t\). |
Решите получившуюся систему неравенств:
\(\displaystyle t\) или \(\displaystyle t\).
Представим \(\displaystyle x^4\) как \(\displaystyle (x^2)^2\) в биквадратном трехчлене \(\displaystyle x^4-15x^2+26{\small : } \)
\(\displaystyle x^4-15x^2+26= (\color{blue}{ x^2})^2-15\color{blue}{ x^2}+26{\small .} \)
Сделаем замену \(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small .} \) Получаем многочлен второй степени:
\(\displaystyle t^2-15t+26{\small .} \)
Найдем его корни и разложим на множители.
Выделим коэффициенты:
\(\displaystyle t^2-15t+26=\color{red}{ 1}\cdot t^2\color{green}{ -15}t+\color{blue}{ 26}{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -15}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 26}{\small .} \)
Решим квадратное уравнение:
\(\displaystyle t^2-15t+26=0{ \small .} \)
Дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{-15})^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 26}=225-104=121\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 121}=11{\small .} \)
Корни уравнения:
\(\displaystyle t_1= \frac{-(-15)+11}{2}=\frac{26}{2}=13{ \small ,}\)
\(\displaystyle t_2= \frac{-(-15)-11}{2}=\frac{4}{2}=2{\small .}\)
Разложим многочлен второй степени на множители по правилу.
Разложение на множители
\(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=\color{red}{ a}(t-t_1)(t-t_2){ \small ,}\)
где \(\displaystyle t_1 \) и \(\displaystyle t_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=0{\small .}\)
В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 13\) и \(\displaystyle 2{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle t^2-15t+26=\color{red}{ 1}\cdot (t-13)(t-2)=(t-13)(t-2) {\small .}\)
Запишем неравенство \(\displaystyle (t-13)(t-2)>0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.
Все решения неравенства \(\displaystyle (t-13)(t-2)>0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle t-13>0{ \small ,}\, t-2>0\) – оба множителя положительны;
- либо \(\displaystyle t-13<0{ \small ,}\, t-2<0\) – оба множителя отрицательны.
Если это переписать в виде систем, то:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-13&>0{ \small ,}\\t-2&>0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-13&< 0{ \small ,}\\t-2& <0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Преобразовывая линейные неравенства, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&>13{ \small ,}\\t&>2\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&< 13{ \small ,}\\t& < 2{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившиеся системы.
Объединяя получившиеся решения, получаем ответ:
\(\displaystyle t<2\) или \(\displaystyle t>13{\small .} \)