Решите неравенство:
\(\displaystyle 6(x+57)(x-34)\le 0{\small .}\)
Упростим данное неравенство \(\displaystyle 6(x+57)(x-34)\le 0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle 6{\small :} \)
\(\displaystyle \color{blue}{ 6}(x+57)(x-34)\le 0 \,| :\color{blue}{ 6}\)
\(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0{\small .} \)
Запишем неравенство \(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.
Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \le 0\) в том случае, когда
- либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\le 0\) – первое число неотрицательно, второе неположительно;
- либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – первое число неположительно, второе неотрицательно.
Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x+57\ge 0{ \small ,}\, x-34\le 0\) – первый множитель неотрицательный, второй неположительный;
- либо \(\displaystyle x+57\le 0{ \small ,}\, x-34\ge 0\) – первый множитель неположительный, второй неотрицательный.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+57&\ge 0{ \small ,}\\x-34 &\le 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+57&\le 0{ \small ,}\\x-34& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge -57{ \small ,}\\x&\le 34\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -57{ \small ,}\\x& \ge 34{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившиеся системы.
Таким образом, получили:
\(\displaystyle x\in [-57;34]{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in [-57;34]{\small .} \)