Решите неравенство:
\(\displaystyle 6(x-2)(x+7)<0{\small .}\)
Упростим данное неравенство \(\displaystyle 6(x-2)(x+7)<0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle 6{\small :} \)
\(\displaystyle \color{blue}{ 6}(x-2)(x+7)<0 \,| :\color{blue}{ 6}\)
\(\displaystyle (x-2)(x+7)<0{\small .} \)
Запишем неравенство \(\displaystyle (x-2)(x+7)<0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.
Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b <0\) в том случае, когда
- либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b<0\) – первое число положительно, второе отрицательно;
- либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b>0\) – первое число отрицательно, второе положительно.
Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x-2)(x+7)<0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x-2>0{ \small ,}\, x+7<0\) – первый множитель положительный, второй отрицательный;
- либо \(\displaystyle x-2<0{ \small ,}\, x+7>0\) – первый множитель отрицательный, второй положительный.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&>0{ \small ,}\\x+7 &< 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&< 0{ \small ,}\\x+7& >0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>2{ \small ,}\\x&< -7\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 2{ \small ,}\\x& > -7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившиеся системы.
Таким образом, получили:
\(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)