Skip to main content

Теория: 03 Решение квадратного неравенства через произведение

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle 6(x-2)(x+7)<0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Упростим данное неравенство \(\displaystyle 6(x-2)(x+7)<0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle 6{\small :} \)

\(\displaystyle \color{blue}{ 6}(x-2)(x+7)<0 \,| :\color{blue}{ 6}\)

\(\displaystyle (x-2)(x+7)<0{\small .} \)


Запишем неравенство \(\displaystyle (x-2)(x+7)<0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b <0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b<0\) – первое число положительно, второе отрицательно;
  • либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b>0\) – первое число отрицательно, второе положительно.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x-2)(x+7)<0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x-2>0{ \small ,}\, x+7<0\) – первый множитель положительный, второй отрицательный;
  • либо \(\displaystyle x-2<0{ \small ,}\, x+7>0\) – первый множитель отрицательный, второй положительный.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&>0{ \small ,}\\x+7 &< 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&< 0{ \small ,}\\x+7& >0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>2{ \small ,}\\x&< -7\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 2{ \small ,}\\x& > -7{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>2{ \small ,}\\ x &<-7 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x>2\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Неравенство \(\displaystyle x<-7\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle 2\) и меньше \(\displaystyle -7{\small :}\)

  

Так как в пересечении общих точек нет, то система неравенств решений не имеет.

Значит, множество решений пусто.


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<2{ \small ,}\\ x &>-7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< 2\) соответствует множеству точек на прямой:



Неравенство \(\displaystyle x>-7\) соответствует множеству точек на прямой:



Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 2\) и больше \(\displaystyle -7{\small :}\)



Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)

 


Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)