Найти второй член арифметической прогрессии \(\displaystyle a_2{ \small ,}\) если
\(\displaystyle a_3 = 1{ \small ,}\, a_{19} = 9{\small .}\)
Воспользуемся формулой для n-го члена арифметической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_\color{red}{ n}=a_1+d(\color{red}{ n}-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle a_3 \) и \(\displaystyle a_{19}{\small : } \)
\(\displaystyle a_3 = a_1 + 2d\) и \(\displaystyle a_{19} = a_1 + 18d{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_3=1 \) и \(\displaystyle a_{19}=9{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1 + 2d=1{ \small ,}\\a_1 + 18d=9{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)
\(\displaystyle a_1=1-2d{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle (1-2d)+18d=9{ \small ,}\)
\(\displaystyle 1-2d+18d=9{ \small ,}\)
\(\displaystyle -2d+18d=9-1{ \small ,}\)
\(\displaystyle 16d = 8{ \small ,}\)
\(\displaystyle d = \frac{ 1}{ 2 }{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=1-2d{ \small ,}\) то
\(\displaystyle a_1=1-2\cdot \frac{ 1}{ 2 }{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=0{\small .} \)
Теперь, зная \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle a_2{\small : } \)
\(\displaystyle a_2=a_1+d{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_2=0+ \frac{ 1}{ 2 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_2=\frac{ 1}{ 2 }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }{\small .}\)